Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên R và $f\left( 0 \right)=0$, $f\left( 4 \right)>4$. Biết hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-2x \right|$ là?
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Nhắc lại: Số cực trị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ được tính bằng tổng số cực trị hàm số $f\left( x \right)$ và giao điểm của hàm số $f\left( x \right)$ với trục hoành.
Ta có $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2x\Leftrightarrow {h}'\left( x \right)=2x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2=2\left( x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-1 \right)$
Xét $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-1=0$ $\left( 1 \right)$
Nếu $x\le 0$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm
Nếu $x>0$ đặt ${{x}^{2}}=t$ thì $\left( 1 \right)$ trở thành ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ $\left( 2 \right)$
Vẽ đồ thị hai hàm số $y={f}'\left( t \right)$, $y=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
Quan sát hai đồ thị ta thấy
- Nếu $0<t\le 1$ thì hàm số ${f}'\left( t \right)$ đồng biến, còn hàm số $y=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ nghịch biến nên $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất $t={{t}_{0}}\in \left( 0;1 \right)$.
- Nếu $t>1$ thì ${f}'\left( t \right)>1>\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ nên $\left( 2 \right)$ vô nghiệm.
Từ các nhận xét trên ta có bảng biến thiên
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& h\left( 0 \right)=0 \\
& h\left( 2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right. $. Nên hàm số $ h\left( x \right) $ có một điểm cực tiểu và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Từ đó ta có $ g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có 3 cực trị.
Ta có $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2x\Leftrightarrow {h}'\left( x \right)=2x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2=2\left( x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-1 \right)$
Xét $h\left( x \right)=0\Leftrightarrow x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-1=0$ $\left( 1 \right)$
Nếu $x\le 0$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm
Nếu $x>0$ đặt ${{x}^{2}}=t$ thì $\left( 1 \right)$ trở thành ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ $\left( 2 \right)$
Vẽ đồ thị hai hàm số $y={f}'\left( t \right)$, $y=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ trên cùng một hệ trục tọa độ.
Quan sát hai đồ thị ta thấy
- Nếu $0<t\le 1$ thì hàm số ${f}'\left( t \right)$ đồng biến, còn hàm số $y=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ nghịch biến nên $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất $t={{t}_{0}}\in \left( 0;1 \right)$.
- Nếu $t>1$ thì ${f}'\left( t \right)>1>\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ nên $\left( 2 \right)$ vô nghiệm.
Từ các nhận xét trên ta có bảng biến thiên
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& h\left( 0 \right)=0 \\
& h\left( 2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right. $. Nên hàm số $ h\left( x \right) $ có một điểm cực tiểu và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Từ đó ta có $ g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có 3 cực trị.
Đáp án D.