Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$ và đồng thời ${{f}^{2}}\left( x \right).f'\left( x \right)=x{{e}^{x}}$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$. Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)+1=0$ là
A. $3$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $1$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $1$.
Ta có ${{f}^{2}}\left( x \right).f'\left( x \right)=x{{e}^{x}} \left( 1 \right)$.
Lấy nguyên hàm hai vế của $\left( 1 \right)$ ta được: $\int{{{f}^{2}}\left( x \right).f'\left( x \right)dx}=\int{x{{e}^{x}}dx}$
$\Leftrightarrow \int{{{f}^{2}}\left( x \right)d\left[ f\left( x \right) \right]}=x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{3}}\left( x \right)}{3}=\left( x-1 \right){{e}^{x}}+C$.
Từ $f\left( 1 \right)=1$ ta suy ra $C=\dfrac{1}{3}$. Vậy $f\left( x \right)=\sqrt[3]{3\left( x-1 \right){{e}^{x}}+1}$.
● Ta có $f\left( x \right)+1=0\Leftrightarrow \sqrt[3]{3\left( x-1 \right){{e}^{x}}+1}+1=0\Leftrightarrow 3\left( x-1 \right){{e}^{x}}=-2$.
Đặt $g\left( x \right)=3\left( x-1 \right){{e}^{x}}$. Ta có $g'\left( x \right)=3x{{e}^{x}}$, $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$.
Dựa vào bảng biến thiên của $g\left( x \right)$, đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt. Vậy phương trình $f\left( x \right)+1=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Lấy nguyên hàm hai vế của $\left( 1 \right)$ ta được: $\int{{{f}^{2}}\left( x \right).f'\left( x \right)dx}=\int{x{{e}^{x}}dx}$
$\Leftrightarrow \int{{{f}^{2}}\left( x \right)d\left[ f\left( x \right) \right]}=x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{3}}\left( x \right)}{3}=\left( x-1 \right){{e}^{x}}+C$.
Từ $f\left( 1 \right)=1$ ta suy ra $C=\dfrac{1}{3}$. Vậy $f\left( x \right)=\sqrt[3]{3\left( x-1 \right){{e}^{x}}+1}$.
● Ta có $f\left( x \right)+1=0\Leftrightarrow \sqrt[3]{3\left( x-1 \right){{e}^{x}}+1}+1=0\Leftrightarrow 3\left( x-1 \right){{e}^{x}}=-2$.
Đặt $g\left( x \right)=3\left( x-1 \right){{e}^{x}}$. Ta có $g'\left( x \right)=3x{{e}^{x}}$, $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$.
Dựa vào bảng biến thiên của $g\left( x \right)$, đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt. Vậy phương trình $f\left( x \right)+1=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Đáp án B.