Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=3$ và $f\left(x \right)+f\left( 2-x...

Phương pháp:
- Áp dụng tích phân từng phần với $\int\limits_{0}^{2}{xf'\left( x \right)dx}.$
- Từ giả thiết $f\left( 0 \right)=3,f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)={{x}^{2}}-2x+2$ tính $f\left( 2 \right).$
- Lấy tích phân hai vế biểu thức $f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)={{x}^{2}}-2x+2.$
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính $J=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2-x \right)dx},$ từ đó tính $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$ và tính $I.$
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{xf'\left( x \right)dx}=xf\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$
Theo bài ra ta có: $f\left( 0 \right)=3,f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)={{x}^{2}}-2x+2.$
$\Rightarrow f\left( 0 \right)+f\left( 2 \right)=2\Rightarrow f\left( 2 \right)=2-f\left( 0 \right)=2-3=-1.$
$\Rightarrow I=2f\left( 2 \right)-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}.$
Lấy tích phân hai vế biểu thức $f\left( x \right)+f\left( 2-x \right)={{x}^{2}}-2x+2$ ta có
$\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)dx}=\dfrac{8}{3}.$
Xét $J=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2-x \right)dx},$ đặt $t=2-x\Rightarrow dt=-dx.$ Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=2 \\
& x=2\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow J=-\int\limits_{2}^{0}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}.$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{4}{3}.$
Vậy $\Rightarrow I=-2-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{10}{3}.$