Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục trên

[- 1; 1]

và thỏa mãn

f (1) = 0

,

(f^{'} {(x)}^{2} + 4 f (x)) = 8 x^{2} + 16 x - 8

với mọi x thuộc

[- 1; 1]

. Giá trị của

\int_{0}^{1} f (x) d x

bằng
A.

- \frac{5}{3}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{1}{5}

D.

- \frac{1}{3}

Ta có:

{(f^{'} (x))}^{2} + 4 f (x) = 8 x^{2} + 16 x - 8 \Rightarrow \int_{- 1}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x + 2 \int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x = \int_{- 1}^{1} (8 x^{2} + 16 x - 8) d x

(1).
Xét

I = \int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x

, đặt

{\begin{aligned} u = f (x) \\ d v = 2 dx \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = f^{'} (x) d x \\ v = 2 x + 2 \end{aligned}

.
Do đó

I = \int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x = {(2 x + 2) f (x) |}_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} (2 x + 2) f^{'} (x) d x = - \int_{- 1}^{1} (2 x + 2) f^{'} (x) d x

.
Từ (1) suy ra

\int_{- 1}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x + 2 \int_{- 1}^{1} 2 f (x) d x = \int_{- 1}^{1} (8 x^{2} + 16 x - 8) d x

\Leftrightarrow \int_{- 1}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x - 2 \int_{- 1}^{1} (2 x + 2) f^{'} (x) d x + \int_{- 1}^{1} {(2 x + 2)}^{2} d x = \int_{- 1}^{1} (12 x^{2} + 24 x - 4) d x

\Leftrightarrow \int_{- 1}^{1} {[f^{'} (x) - (2 x + 2)]}^{2} d x = 0 \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x + 2 \Rightarrow f (x) = x^{2} + 2 x + C

.
Vì

f (1) = 0

nên

C = - 3

. Suy ra

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (x^{2} + 2 x - 3) d x = - \frac{5}{3}

.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\left[...