Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục trên

[0; 2]

thỏa mãn

f (2) = 1

,

\int_{0}^{2} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \frac{2}{7}

và

\int_{0}^{2} x^{2} . f (x) d x = \frac{40}{21}

. Tính tích phân

I = \int_{0}^{2} f (x) d x

.
A.

I = 21

.
B.

I = \frac{6}{5}

.
C.

I = \frac{84}{3}

.
D.

I = \frac{8}{5}

.

Đặt

{\begin{aligned} u = f (x) \\ d v = x^{2} d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = f^{'} (x) d x \\ v = \frac{x^{3}}{3} \end{aligned}

, khi đó

\int_{0}^{2} x^{2} . f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} . f (x) | \begin{aligned} ^{2} \\ _{0} \end{aligned} - \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{3} f^{'} (x) d x

Suy ra

\frac{40}{21} = \frac{8}{3} f (2) - \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{3} f^{'} (x) d x \Rightarrow \int_{0}^{2} x^{3} f^{'} (x) d x = \frac{16}{7}

Ta chọn k sao cho:

\int_{0}^{2} {[f^{'} (x) + k x^{3}]}^{2} d x = \int_{0}^{2} {[f^{'} (x)]}^{2} d x + 2 k \int_{0}^{2} f^{'} (x) x^{3} d x + k^{2} \int_{0}^{2} x^{6} d x = 0

= \frac{2}{7} + \frac{32}{7} k + \frac{128 k^{2}}{7} = 0 \Rightarrow k = \frac{- 1}{8} \Rightarrow \int_{0}^{1} {[f^{'} (x) - \frac{1}{8} x^{3}]}^{2} d x = 0

\Rightarrow f^{'} (x) = \frac{x^{3}}{8} \Rightarrow f (x) = \frac{x^{4}}{32} + C

Do

f (2) = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow f (x) = \frac{x^{4}}{32} + \frac{1}{2} \Rightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{6}{5}

Đáp án B.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\left[...