Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn...

The Knowledge · 20/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[0; 1], f (x)

và

f^{'} (x)

đều nhận giá trị dương trên đoạn

[0; 1]

và thỏa mãn

f (0) = 2, \int_{0}^{1} [f^{'} (x) . {[f (x)]}^{2} + 1] d x = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f^{'} (x)} . f (x) d x .

Tính

\int_{0}^{1} {[f (x)]}^{3} d x

A.

\frac{15}{4}

B.

\frac{15}{2}

C.

\frac{17}{2}

D.

\frac{19}{2}

Giả thiết tương đương với

{\int_{0}^{1} [\sqrt{f^{'} (x)} . f (x) - 1]}^{2} d x = \sqrt{f^{'} (x)} . f (x) = 1

\Leftrightarrow f^{'} (x) . f^{2} (x) = 1 \Leftrightarrow \int f^{'} (x) . f^{2} (x) d x = \int d x \Leftrightarrow \int f^{2} (x) d (f (x)) = x + C

\Leftrightarrow \frac{f^{3} (x)}{3} = x + C

mà

f (0) = 2 \Rightarrow C = \frac{8}{3} .

Vậy

f^{3} (x) = 3 x + 8 \Rightarrow \int_{0}^{1} f^{3} (x) d x = \frac{19}{2}

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn...