Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right],f\left( x \right)$ và $f'\left( x \right)$ đều nhận giá trị dương trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn $f\left( 0 \right)=2,\int\limits_{0}^{1}{\left[ f'\left( x \right).{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+1 \right]}dx=2\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{f'\left( x \right)}}.f\left( x \right)dx.$ Tính $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}dx}$
A. $\dfrac{15}{4}$
B. $\dfrac{15}{2}$
C. $\dfrac{17}{2}$
D. $\dfrac{19}{2}$
A. $\dfrac{15}{4}$
B. $\dfrac{15}{2}$
C. $\dfrac{17}{2}$
D. $\dfrac{19}{2}$
Giả thiết tương đương với ${{\int\limits_{0}^{1}{\left[ \sqrt{f'\left( x \right)}.f\left( x \right)-1 \right]}}^{2}}dx=\sqrt{f'\left( x \right)}.f\left( x \right)=1$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right).{{f}^{2}}\left( x \right)=1\Leftrightarrow \int{f'\left( x \right).{{f}^{2}}\left( x \right)d\text{x}}=\int{d\text{x}}\Leftrightarrow \int{{{f}^{2}}\left( x \right)d\left( f\left( x \right) \right)}=x+C$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{3}}\left( x \right)}{3}=x+C$ mà $f\left( 0 \right)=2\Rightarrow C=\dfrac{8}{3}.$ Vậy ${{f}^{3}}\left( x \right)=3\text{x}+8\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{3}}\left( x \right)d\text{x}}=\dfrac{19}{2}$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right).{{f}^{2}}\left( x \right)=1\Leftrightarrow \int{f'\left( x \right).{{f}^{2}}\left( x \right)d\text{x}}=\int{d\text{x}}\Leftrightarrow \int{{{f}^{2}}\left( x \right)d\left( f\left( x \right) \right)}=x+C$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{3}}\left( x \right)}{3}=x+C$ mà $f\left( 0 \right)=2\Rightarrow C=\dfrac{8}{3}.$ Vậy ${{f}^{3}}\left( x \right)=3\text{x}+8\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{3}}\left( x \right)d\text{x}}=\dfrac{19}{2}$
Đáp án D.