Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn...

The Knowledge · 20/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm, liên tục trên đoạn

[0; 1]

và thỏa mãn các điều kiện

f (1) = 0

và

\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}

. Tích phân

\int_{0}^{1} f (x) d x

bằng
A.

\frac{e - 1}{2}

B.

\frac{e^{2}}{4}

C.

\frac{e}{2}

D.

e - 2

Đặt

{\begin{aligned} u = f (x) \\ d v = (x + 1) e^{x} d x \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} d u = f^{'} (x) \\ v = \int (x + 1) e^{x} d x = x e^{x} \end{aligned}

Suy ra

\int_{0}^{1} {[f^{'} (x) + k . x e^{x}]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x + 2 k . \int_{0}^{1} x e^{x} . f^{'} (x) d x + k^{2} . \int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x = 0

Chọn k sao cho

\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = x e^{x} . {f (x) |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x e^{x} . f^{'} (x) d x \Rightarrow \int_{0}^{1} x e^{x} . f^{'} (x) d x = \frac{1 - e^{2}}{4}

\Leftrightarrow \frac{e^{2} - 1}{4} - 2 k . \frac{e^{2} - 1}{4} + k^{2} . \frac{e^{2} - 1}{4} = 0 \Leftrightarrow {(k - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow k = 1 \Rightarrow f^{'} (x) = - x e^{x}

Do đó

f (x) = \int f^{'} (x) d x = - \int x e^{x} d x = - (x - 1) e^{x} + C

mà

f (1) = 0 \Rightarrow C = 0

Vậy

f (x) = - (x - 1) e^{x} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (1 - x) e^{x} d x = e - 2

.

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn...