Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[1; 2]

và thỏa mãn

f (x) > 0

khi

x \in [1; 2]

. Biết

\int_{1}^{2} f^{'} (x) d x = 10

và

\int_{1}^{2} \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln 2

.Tính

f (2)

.
A.

f (2) = - 20

.
B.

f (2) = 10

.
C.

f (2) = 20

.
D.

f (2) = - 10

.

Ta có:

\int_{1}^{2} \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln 2 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} \frac{d (f (x))}{f (x)} = \ln 2 \Leftrightarrow \ln f (x) | \begin{aligned} 2 \\ 1 \end{aligned} = \ln 2 \Leftrightarrow \ln f (2) - \ln f (1) = \ln 2

\Leftrightarrow f (2) = 2 f (1)

Lại có:

\int_{1}^{2} f^{'} (x) d x = 10 \Leftrightarrow f (x) | \begin{aligned} 2 \\ 1 \end{aligned} = 10 \Leftrightarrow f (2) - f (1) = 10

Từ đó

{\begin{aligned} f (2) = 2 f (1) \\ f (2) - f (1) = 10 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} f (2) = 20 \\ f (1) = 10 \end{aligned}

.
Lập hệ phương trình theo ẩn

f (2)

,

f (1)

từ các điều kiện bài cho, sử dụng công thức

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn...