Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1,\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=9$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{2}$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $\dfrac{2}{3}.$
B. $\dfrac{5}{2}.$
C. $\dfrac{7}{4}.$
D. $\dfrac{6}{5}.$
A. $\dfrac{2}{3}.$
B. $\dfrac{5}{2}.$
C. $\dfrac{7}{4}.$
D. $\dfrac{6}{5}.$
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=9 \left( 1 \right)$
Xét $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{2}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv={{x}^{3}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=f'\left( x \right)dx \\
& v=\dfrac{{{x}^{4}}}{4} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx}=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}f\left( x \right) \right) \right|_{0}^{1}-\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'\left( x \right)dx}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'\left( x \right)dx}=-1\Rightarrow 18\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'\left( x \right)dx}=-18 \left( 2 \right)$
Lại có $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{8}}dx}=\left. \dfrac{{{x}^{9}}}{9} \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow 81\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{8}}dx}=9 \left( 3 \right)$
Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được
$\int\limits_{0}^{1}{\left[ {{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}+18{{x}^{4}}f'\left( x \right)+81{{x}^{8}} \right]dx}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'\left( x \right)+9{{x}^{4}} \right]}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow \pi .\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'\left( x \right)+9{{x}^{4}} \right]}^{2}}dx}=0$
Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)+9{{x}^{4}}$, trục hoành Ox, các đường thẳng $x=0,x=1$ khi quay quanh Ox bằng 0, suy ra:
$f'\left( x \right)+9{{x}^{4}}=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-9{{x}^{4}}\Rightarrow f\left( x \right)=\int{f'\left( x \right)dx}=-\dfrac{9}{5}{{x}^{4}}+C$
Lại do $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=\dfrac{14}{5}\Rightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{9}{5}{{x}^{5}}=\dfrac{14}{5}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( -\dfrac{9}{5}{{x}^{5}}+\dfrac{14}{4} \right)dx}=\left. \left( -\dfrac{3}{10}{{x}^{6}}+\dfrac{14}{5}x \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{5}{2}$
Xét $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{2}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv={{x}^{3}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=f'\left( x \right)dx \\
& v=\dfrac{{{x}^{4}}}{4} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx}=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}f\left( x \right) \right) \right|_{0}^{1}-\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'\left( x \right)dx}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'\left( x \right)dx}=-1\Rightarrow 18\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f'\left( x \right)dx}=-18 \left( 2 \right)$
Lại có $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{8}}dx}=\left. \dfrac{{{x}^{9}}}{9} \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow 81\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{8}}dx}=9 \left( 3 \right)$
Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được
$\int\limits_{0}^{1}{\left[ {{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}+18{{x}^{4}}f'\left( x \right)+81{{x}^{8}} \right]dx}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'\left( x \right)+9{{x}^{4}} \right]}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow \pi .\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'\left( x \right)+9{{x}^{4}} \right]}^{2}}dx}=0$
Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)+9{{x}^{4}}$, trục hoành Ox, các đường thẳng $x=0,x=1$ khi quay quanh Ox bằng 0, suy ra:
$f'\left( x \right)+9{{x}^{4}}=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-9{{x}^{4}}\Rightarrow f\left( x \right)=\int{f'\left( x \right)dx}=-\dfrac{9}{5}{{x}^{4}}+C$
Lại do $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=\dfrac{14}{5}\Rightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{9}{5}{{x}^{5}}=\dfrac{14}{5}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( -\dfrac{9}{5}{{x}^{5}}+\dfrac{14}{4} \right)dx}=\left. \left( -\dfrac{3}{10}{{x}^{6}}+\dfrac{14}{5}x \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{5}{2}$
Đáp án B.