Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]...

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^{2}dx=9\left(1\right)$
Xét $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}f\left(x\right)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Đặt $\{\begin{array}{rl}& u=f\left(x\right)\\ & dv=x^{3}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& du=f^{\prime }\left(x\right)dx\\ & v={\displaystyle \frac{x^4}{4}}\end{array}$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}f\left(x\right)dx={\left({\displaystyle \frac{x^4}{4}}f\left(x\right)\right)|}_0^1-{\displaystyle \frac{1}{4}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^4{f}^{\prime }\left(x\right)dx={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^4{f}^{\prime }\left(x\right)dx$
$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^4{f}^{\prime }\left(x\right)dx=-1\Rightarrow 18\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^4{f}^{\prime }\left(x\right)dx=-18\left(2\right)$
Lại có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{8}dx={{\displaystyle \frac{x^9}{9}}|}_0^1={\displaystyle \frac{1}{9}}\Rightarrow 81\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{8}dx=9\left(3\right)$
Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được
$\underset{0}{\overset{1}{\int }}[{\left[f^{\prime }\left(x\right)\right]}^2+18x^4{f}^{\prime }\left(x\right)+81x^8]dx=0\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}{[f^{\prime }\left(x\right)+9x^4]}^{2}dx=0\iff \pi .\underset{0}{\overset{1}{\int }}{[f^{\prime }\left(x\right)+9x^4]}^{2}dx=0$
Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)+9x^4$, trục hoành Ox, các đường thẳng $x=0,x=1$ khi quay quanh Ox bằng 0, suy ra:
$f^{\prime }\left(x\right)+9x^4=0\iff f^{\prime }\left(x\right)=-9x^4\Rightarrow f\left(x\right)=\int f^{\prime }\left(x\right)dx=-{\displaystyle \frac{9}{5}}{x}^4+C$
Lại do $f\left(1\right)=1\Rightarrow C={\displaystyle \frac{14}{5}}\Rightarrow f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{9}{5}}{x}^5={\displaystyle \frac{14}{5}}$
$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(-{\displaystyle \frac{9}{5}}{x}^5+{\displaystyle \frac{14}{4}})dx={(-{\displaystyle \frac{3}{10}}{x}^6+{\displaystyle \frac{14}{5}}x)|}_0^1={\displaystyle \frac{5}{2}}$