Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $a.$ Biết $f\left( 2 \right)=2$ và $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 2x \right)dx}=10,$ khi đó...

Đặt $2x=t\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{2}$ suy ra ta có $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 2x \right)dx}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{2}{tf\left( t \right)dt}=10\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{tf\left( t \right)dt}=40.$
Hay $\int\limits_{0}^{2}{xf\left( x \right)dx}=40$
Xét $\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}f'\left( x \right)dx.}$ Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}} \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=2xdx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}f'\left( x \right)dx}={{x}^{2}}f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-2\int\limits_{0}^{2}{xf\left( x \right)dx}=4f\left( 2 \right)-2.40=8-80=-72.$