Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục, nhận giá trị...

Phương pháp:
- Chuyển $2{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}$ sang VT, chia cả 2 vế cho $2f\left( x \right).$
- Chia cả 2 vế cho ${{x}^{2}}.$
- Lấy tích phân từ 1 đến 4 hai vế.
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
$2x.f\left( x \right).f'\left( x \right)={{x}^{3}}+2{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\forall x\in \left[ 1;4 \right]$
$\Leftrightarrow 2x.f\left( x \right).f'\left( x \right)-2{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}={{x}^{3}}\forall x\in \left[ 1;4 \right]$
$\Leftrightarrow x.f'\left( x \right)-f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{2f\left( x \right)}\forall x\in \left[ 1;4 \right]$
$\Leftrightarrow \dfrac{xf'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=\dfrac{x}{2f\left( x \right)}\forall x\in \left[ 1;4 \right]$
$\Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right).x-f\left( x \right).x'}{{{x}^{2}}}=\dfrac{x}{2f\left( x \right)}\forall x\in \left[ 1;4 \right]$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right)'=\dfrac{x}{2f\left( x \right)}\forall x\in \left[ 1;4 \right] \\
& \\
\end{aligned}$
Lấy tích phân từ 1 đến 4 hai vế ta được: $\int\limits_{1}^{4}{\left( \dfrac{f\left( x \right)}{dx} \right)'dx=\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{x}{f\left( x \right)}dx}.}$
$\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{x}\left| \begin{aligned}
& 4 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{x}{f\left( x \right)}dx}\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{4}{\dfrac{x}{f\left( x \right)}dx}=2\left( \dfrac{1}{4}f\left( 4 \right)-f\left( 1 \right) \right)=\dfrac{1}{2}.8-2.1=2.$