Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2m\text{x+5} \right).$ Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $f\left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị?
A. 0.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
A. 0.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
Ta có : ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0 \\
& x=-1 \\
& g\left( x \right)={{x}^{2}}+2mx+5=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số $f\left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị xảy ra các khả năng sau :
Trường hợp 1 : $g\left( x \right)=0$ có nghiệm kép thì ${\Delta }'={{m}^{2}}-5=0\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{5}$ không thỏa mãn m nguyên.
Trường hợp 2 : $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt là ${{x}_{1}}=-1$ và ${{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& g\left( -1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m-3.$
Trường hợp 3 : $g\left( x \right)=0$ vô nghiệm, tức là ${\Delta }'<0\Leftrightarrow -\sqrt{5}<m<\sqrt{5},$ do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}.$
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
& {{x}^{2}}=0 \\
& x=-1 \\
& g\left( x \right)={{x}^{2}}+2mx+5=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số $f\left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị xảy ra các khả năng sau :
Trường hợp 1 : $g\left( x \right)=0$ có nghiệm kép thì ${\Delta }'={{m}^{2}}-5=0\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{5}$ không thỏa mãn m nguyên.
Trường hợp 2 : $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt là ${{x}_{1}}=-1$ và ${{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& g\left( -1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m-3.$
Trường hợp 3 : $g\left( x \right)=0$ vô nghiệm, tức là ${\Delta }'<0\Leftrightarrow -\sqrt{5}<m<\sqrt{5},$ do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}.$
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án C.