Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x...

Ta có $g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left( 4x-12 \right).{f}'\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)$.
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 4x-12 \right).{f}'\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {f}'\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m=0 \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m=4 \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m=-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m=0 \left( 1 \right) \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m-4=0 \left( 2 \right) \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m+1=0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vì phương trình (3) có nghiệm kép nên ta chỉ xét 2 phương trình (1) và (2).
Nhận xét: phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung.
Yêu cầu bài toán suy ra phương trình (1) va (2) đều có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 3.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{{{\Delta }'}}_{\left( 1 \right)}}>0 \\
& {{2.3}^{2}}-12.3+m\ne 0 \\
& {{{{\Delta }'}}_{\left( 2 \right)}}>0 \\
& {{2.3}^{2}}-12.3+m-4\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 36-2m>0 \\
& m\ne 18 \\
& 36-2\left( m-4 \right)>0 \\
& m\ne 22 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<18 \\
& m\ne 18 \\
& m<22 \\
& m\ne 22 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow m<18$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;...;17 \right\}$.