Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)=x{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right).$ Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 4.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
A. 4.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Ta có:
$f'\left( x \right)=x{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)$
$=x{{\left( x-3 \right)}^{3}}\left( x+1 \right)$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta thấy, đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ có bậc cao nhất của $x$ là bậc 5 $\Rightarrow $ Bậc cao nhất của $x$ trong hàm số $f\left( x \right)$ là bậc 6. Hệ số của ${{x}^{5}}$ trong $f'\left( x \right)$ dương $\Rightarrow $ Hệ số của ${{x}^{6}}$ trong hàm số $f\left( x \right)$ cũng dương.
$\Rightarrow \underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $
Ta có bảng biến thiên:
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( x \right)$ có 1 cực đại.
$f'\left( x \right)=x{{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)$
$=x{{\left( x-3 \right)}^{3}}\left( x+1 \right)$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta thấy, đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ có bậc cao nhất của $x$ là bậc 5 $\Rightarrow $ Bậc cao nhất của $x$ trong hàm số $f\left( x \right)$ là bậc 6. Hệ số của ${{x}^{5}}$ trong $f'\left( x \right)$ dương $\Rightarrow $ Hệ số của ${{x}^{6}}$ trong hàm số $f\left( x \right)$ cũng dương.
$\Rightarrow \underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty ;\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $
Ta có bảng biến thiên:
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( x \right)$ có 1 cực đại.
Đáp án D.