Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x+2 \right)\left( x-3 \right).$ Điểm cực đại của hàm số $g\left( x...

Phương pháp:
- Tính $g'\left( x \right)$, giải phương trình $g'\left( x \right)=0.$
- Lập BXD của $g'\left( x \right).$
- Xác định điểm cực đại của hàm số $g\left( x \right)$ là điểm mà $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm.
Cách giải:
Ta có:
$g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$
$\Rightarrow g'\left( x \right)=\left( 2x-2 \right)f'\left( {{x}^{2}}-2x \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-2=0 \\
& f'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x=-2 \\
& {{x}^{2}}-2x=3 \\
\end{aligned} \right. $ (ta không xét $ {{x}^{2}}-2x=0 $ vì $ x=0 $ là nghiệm kép của phương trình $ f'\left( x \right)=0$).
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right. $ và qua các nghiệm này thì $ g'\left( x \right)$ đổi dấu.
Chọn $x=4$ ta có $g'\left( 4 \right)=6.f'\left( 8 \right)>0.$
Khi đó ta có BXD của $g'\left( x \right)$ như sau:
Điểm cực đại của hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ là ${{x}_{CD}}=1.$