Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm dương, liên tục trên...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn

[0; 2]

thỏa mãn điều kiện

f (0) = 3

và

225 \int_{0}^{2} f^{'} (x) f^{2} (x) d x + 8 \leq 60 \int_{0}^{2} \sqrt{f^{'} (x)} f (x) d x

. Tích phân

\int_{0}^{2} f^{3} (x) d x

bằng
A.

\frac{274}{5}

.
B.

\frac{4068}{75}

.
C.

\frac{4058}{75}

.
D.

\frac{274}{75}

.

Ta có

225 \int_{0}^{2} f^{'} (x) f^{2} (x) d x + 8 \leq 60 \int_{0}^{2} \sqrt{f^{'} (x)} f (x) d x

\Leftrightarrow 225 \int_{0}^{2} f^{'} (x) f^{2} (x) d x - 60 \int_{0}^{2} \sqrt{f^{'} (x)} f (x) d x + \int_{0}^{2} 4 d x \leq 0

\Leftrightarrow \int_{0}^{2} {[15 \sqrt{f^{'} (x)} . f (x) - 2]}^{2} d x \leq 0 \Rightarrow 15 \sqrt{f^{'} (x)} . f (x) - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{f^{'} (x)} . f (x) = \frac{2}{15}

\Leftrightarrow f^{'} (x) . f^{2} (x) = \frac{4}{225} \Leftrightarrow \int f^{'} (x) . f^{2} (x) d x = \frac{4 x}{225} + C \Leftrightarrow \frac{f^{3} (x)}{3} = \frac{4 x}{225} + C

Lại có

f (0) = 3 \Rightarrow C = 9 \Rightarrow f^{3} (x) = \frac{12 x}{225} + 27 \Rightarrow \int_{0}^{2} f^{3} (x) d x = \frac{4058}{75}

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên...