Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, đồng biến và nhận giá trị dương trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$. Hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ ?
A. $2$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $3$.
A. $2$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $3$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}$.
Ta có $x<0$, ${f}'\left( x \right)>0$ và $f\left( x \right)>0$ với $x\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Nên $x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)<0$ với $x\in \left( -\infty ;0 \right)$ nên ${g}'\left( x \right)=\dfrac{x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}<0$ với $x\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Nên $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;0 \right)$ nên $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ không có điểm cực trị trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$.
Ta có $x<0$, ${f}'\left( x \right)>0$ và $f\left( x \right)>0$ với $x\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Nên $x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)<0$ với $x\in \left( -\infty ;0 \right)$ nên ${g}'\left( x \right)=\dfrac{x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}<0$ với $x\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Nên $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;0 \right)$ nên $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ không có điểm cực trị trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$.
Đáp án B.