Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm cấp hai liên tục trên

R

và thoả mãn

f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, {f^{'}}^{'} (x) = f (x) + (3 x + 4) e^{2 x}

với mọi

x \in R

. Giá trị của

f (1)

bằng
A.

e^{2}

.
B.

2 e^{4}

.
C.

2 e^{2}

.
D.

e^{4}

.

Ta có:

\begin{aligned} {f^{'}}^{'} (x) = f (x) + (3 x + 4) e^{2 x} \Leftrightarrow {f^{'}}^{'} (x) - f (x) = (3 x + 4) e^{2 x} \\ \Leftrightarrow \frac{{f^{'}}^{'} (x) - f (x)}{e^{x}} = (3 x + 4) e^{x} \Leftrightarrow \frac{{f^{'}}^{'} (x) e^{x} - f (x) e^{x}}{e^{2 x}} = (3 x + 4) e^{x} \\ \Leftrightarrow \frac{{f^{'}}^{'} (x) e^{x} - f^{'} (x) e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{f^{'} (x) e^{x} - f (x) e^{x}}{e^{2 x}} = (3 x + 4) e^{x} \\ \Leftrightarrow {(\frac{f^{'} (x)}{e^{x}})}^{'} + {(\frac{f (x)}{e^{x}})}^{'} = (3 x + 4) e^{x} \end{aligned}

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\frac{f^{'} (x)}{e^{x}} + \frac{f (x)}{e^{x}} = \int (3 x + 4) e^{x} d x = (3 x + 1) e^{x} + C

Khi:

x = 0 \Rightarrow C = 0

Suy ra:

\frac{f^{'} (x)}{e^{x}} + \frac{f (x)}{e^{x}} = (3 x + 1) e^{x} \Leftrightarrow f^{'} (x) + f (x) = (3 x + 1) e^{2 x}

\begin{aligned} \Leftrightarrow f^{'} (x) e^{x} + f (x) e^{x} = (3 x + 1) e^{3 x} \Leftrightarrow {[f (x) e^{x}]}^{'} = (3 x + 1) e^{3 x} \\ \Rightarrow f (x) e^{x} = \int (3 x + 1) e^{3 x} d x = x e^{3 x} + C_{1} \end{aligned}

Lại có:

x = 0 \Rightarrow C_{1} = 0

Vậy:

f (x) = x e^{2 x} \Rightarrow f (1) = e^{2}

.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên...