Cho hàm số $F\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Số...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Điều kiện xác định ${{\text{x}}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0$
Ta có $f\left( 4-\sqrt{{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}} \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4-\sqrt{{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}}={{a}_{1}}\in \left( -\infty ;2 \right)\left( 1 \right) \\
& 4-\sqrt{{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}}={{a}_{2}}\in \left( 2;4 \right)\left( 2 \right) \\
& 4-\sqrt{{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}}={{a}_{3}}\in \left( 4;+\infty \right)\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t=4-\sqrt{{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}}$ với $x\ge 0$.
${t}'=-\dfrac{3{{\text{x}}^{2}}-12\text{x}+9}{2\sqrt{{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}}}$ với $x>0;\text{ {t}'}=0\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-12\text{x}+9=\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $t=4-\sqrt{{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}}$

Từ bảng biến thiên trên, suy ra
Phương trình (1) có 1 nghiệm
Phương trình (2) có 3 nghiệm
Phương trình (3) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $t=4-\sqrt{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9\text{x}}$ với $x\ge 0$.
Ta có: ${t}'=-\dfrac{3{{\text{x}}^{2}}-12\text{x}+9}{2\sqrt{{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}}}$ với $x>0;\text{ {t}'}=0\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}-12\text{x}+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng biến thiên của $t=4-\sqrt{{{x}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}}$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.