Cho hàm số $F\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau: Số...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Điều kiện xác định ${\text{x}}^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}\ge 0\iff x\ge 0$
Ta có $f(4-\sqrt{x^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}})=3\iff [\begin{array}{rl}& 4-\sqrt{x^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}}=a_1\in (-\mathrm{\infty };2)\left(1\right)\\ & 4-\sqrt{x^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}}=a_2\in (2;4)\left(2\right)\\ & 4-\sqrt{x^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}}=a_3\in (4;+\mathrm{\infty })\left(3\right)\end{array}$
Đặt $t=4-\sqrt{x^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}}$ với $x\ge 0$.
$t^{\prime }=-{\displaystyle \frac{3{\text{x}}^2-12\text{x}+9}{2\sqrt{x^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}}}}$ với $x>0;\text{ {t}'}=0\iff 3{\text{x}}^2-12\text{x}+9=\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x=3\end{array}$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $t=4-\sqrt{x^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}}$

Từ bảng biến thiên trên, suy ra
Phương trình (1) có 1 nghiệm
Phương trình (2) có 3 nghiệm
Phương trình (3) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $t=4-\sqrt{x^3-6x^2+9\text{x}}$ với $x\ge 0$.
Ta có: $t^{\prime }=-{\displaystyle \frac{3{\text{x}}^2-12\text{x}+9}{2\sqrt{x^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}}}}$ với $x>0;\text{ {t}'}=0\iff 3{\text{x}}^2-12\text{x}+9=0\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x=3\end{array}$.
Lập bảng biến thiên của $t=4-\sqrt{x^3-6{\text{x}}^2+9\text{x}}$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.