Cho hàm số $f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau: Số...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Ta có $2f(\cos x)-3=0\iff f(\cos x)={\displaystyle \frac{3}{2}}\iff \{\begin{array}{rl}& \cos x=a\in (-\mathrm{\infty };-1)\\ & \cos x=b\in (-1;0)\\ & \cos x=c\in (0;1)\\ & \cos x=d\in (1;+\mathrm{\infty })\end{array}$
Vì $\cos x\in [-1;1]$ nên $\cos x=a\in (-\mathrm{\infty };-1)$ và $\cos x=d\in (1;+\mathrm{\infty })$ vô nghiệm.
Xét đồ thị hàm số $y=\cos x$ trên $[-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}};2\pi ]$

Phương trình $\cos x=b\in (-1;0)$ có 4 nghiệm phân biệt.
Phương trình $\cos x=c\in (0;1)$ có 3 nghiệm phân biệt, không trùng với nghiệm nào của phương trình $\cos x=b\in (-1;0)$.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}};2\pi ].$
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Ta có $2f(\cos x)-3=0\iff f(\cos x)={\displaystyle \frac{3}{2}}(\ast )$
Đặt $t=\cos x,t\in [-1;1];t^{\prime }=-\sin x;t^{\prime }=0\Rightarrow x=k\pi ;x\in [-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}};2\pi ]\Rightarrow x\in \{-\pi ;0;\pi ;2\pi \}$

Khi đó (*) trở thành $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
Số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn $[-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}};2\pi ]$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(t\right),t\in [-1;1]$ và đường thẳng $y={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta được kết quả đường thẳng $y={\displaystyle \frac{3}{2}}$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)$ tại 7 điểm hay phương trình (*) có 7 nghiệm phân biệt trên đoạn $[-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}};2\pi ]$.