Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]$ của phương trình $2f\left( \cos x \right)-3=0$ là
A. 4.
B. 7.
C. 6.
D. 8.
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]$ của phương trình $2f\left( \cos x \right)-3=0$ là
A. 4.
B. 7.
C. 6.
D. 8.
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Ta có $2f\left( \cos x \right)-3=0\Leftrightarrow f\left( \cos x \right)=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \cos x=a\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& \cos x=b\in \left( -1;0 \right) \\
& \cos x=c\in \left( 0;1 \right) \\
& \cos x=d\in \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vì $\cos x\in [-1;1]$ nên $\cos x=a\in \left( -\infty ;-1 \right)$ và $\cos x=d\in \left( 1;+\infty \right)$ vô nghiệm.
Xét đồ thị hàm số $y=\cos x$ trên $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]$
Phương trình $\cos x=b\in \left( -1;0 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.
Phương trình $\cos x=c\in \left( 0;1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt, không trùng với nghiệm nào của phương trình $\cos x=b\in \left( -1;0 \right)$.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right].$
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Ta có $2f\left( \cos x \right)-3=0\Leftrightarrow f\left( \cos x \right)=\dfrac{3}{2} (*)$
Đặt $t=\cos x, t\in [-1;1];t'=-\sin x;t'=0\Rightarrow x=k\pi ;x\in \left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]\Rightarrow x\in \left\{ -\pi ;0;\pi ;2\pi \right\}$
Khi đó (*) trở thành $f\left( t \right)=\dfrac{3}{2}$.
Số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( t \right),t\in [-1;1]$ và đường thẳng $y=\dfrac{3}{2}$.
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta được kết quả đường thẳng $y=\dfrac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$ tại 7 điểm hay phương trình (*) có 7 nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]$.
Ta có $2f\left( \cos x \right)-3=0\Leftrightarrow f\left( \cos x \right)=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \cos x=a\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& \cos x=b\in \left( -1;0 \right) \\
& \cos x=c\in \left( 0;1 \right) \\
& \cos x=d\in \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vì $\cos x\in [-1;1]$ nên $\cos x=a\in \left( -\infty ;-1 \right)$ và $\cos x=d\in \left( 1;+\infty \right)$ vô nghiệm.
Xét đồ thị hàm số $y=\cos x$ trên $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]$
Phương trình $\cos x=b\in \left( -1;0 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.
Phương trình $\cos x=c\in \left( 0;1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt, không trùng với nghiệm nào của phương trình $\cos x=b\in \left( -1;0 \right)$.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right].$
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Ta có $2f\left( \cos x \right)-3=0\Leftrightarrow f\left( \cos x \right)=\dfrac{3}{2} (*)$
Đặt $t=\cos x, t\in [-1;1];t'=-\sin x;t'=0\Rightarrow x=k\pi ;x\in \left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]\Rightarrow x\in \left\{ -\pi ;0;\pi ;2\pi \right\}$
Khi đó (*) trở thành $f\left( t \right)=\dfrac{3}{2}$.
Số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( t \right),t\in [-1;1]$ và đường thẳng $y=\dfrac{3}{2}$.
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta được kết quả đường thẳng $y=\dfrac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$ tại 7 điểm hay phương trình (*) có 7 nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[ -\dfrac{3\pi }{2};2\pi \right]$.
Đáp án B.