Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$, bảng biến thiên của hàm số ${f}'\left( x \right)$ như sau
Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ là
A. $9$.
B. $3$.
C. $7$.
D. $5$.
A. $9$.
B. $3$.
C. $7$.
D. $5$.
Cách 1
Từ bảng biến thiên ta có phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có các nghiệm tương ứng là$\left[ \begin{aligned}
& x=a,a\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& x=b,b\in \left( -1;0 \right) \\
& x=c,c\in \left( 0;1 \right) \\
& x=d,d\in \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)\Rightarrow {y}'=2\left( x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)$.
Giải phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow 2\left( x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-1=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x=a\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=b\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=c\text{ }\left( 3 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=d\text{ }\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}-2x$ ta có $h\left( x \right)={{x}^{2}}-2x=-1+{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge -1,\forall x\in \mathbb{R}$ do đó
Phương trình ${{x}^{2}}-2x=a,\left( a<-1 \right)$ vô nghiệm.
Phương trình ${{x}^{2}}-2x=b,\left( -1<b<0 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ không trùng với nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.
Phương trình ${{x}^{2}}-2x=c,\left( 0<c<1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{3}};{{x}_{4}}$ không trùng với nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ và phương trình $\left( 2 \right)$.
Phương trình ${{x}^{2}}-2x=d,\left( d>1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{5}};{{x}_{6}}$ không trùng với nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ và phương trình $\left( 2 \right)$ và phương trình $\left( 3 \right)$.
Vậy phương trình ${y}'=0$ có $7$ nghiệm phân biệt nên hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ có $7$ điểm cực trị.
Cách 2
Từ bảng biến thiên ta có phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có các nghiệm tương ứng là$\left[ \begin{aligned}
& x=a,a\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& x=b,b\in \left( -1;0 \right) \\
& x=c,c\in \left( 0;1 \right) \\
& x=d,d\in \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)\Rightarrow {y}'=2\left( x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow 2\left( x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-1=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x=a\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=b\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=c\text{ }\left( 3 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=d\text{ }\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vẽ đồ thị hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}-2x$
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm. Các phương trình $\left( 2 \right); \left( 3 \right); \left( 4 \right)$ mỗi phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau.
Vậy phương trình ${y}'=0$ có $7$ nghiệm phân biệt nên hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ có $7$ điểm cực trị.
Cách 3: Sử dụng phương pháp ghép trục
& x=a,a\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& x=b,b\in \left( -1;0 \right) \\
& x=c,c\in \left( 0;1 \right) \\
& x=d,d\in \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)\Rightarrow {y}'=2\left( x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)$.
Giải phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow 2\left( x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-1=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x=a\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=b\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=c\text{ }\left( 3 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=d\text{ }\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}-2x$ ta có $h\left( x \right)={{x}^{2}}-2x=-1+{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge -1,\forall x\in \mathbb{R}$ do đó
Phương trình ${{x}^{2}}-2x=a,\left( a<-1 \right)$ vô nghiệm.
Phương trình ${{x}^{2}}-2x=b,\left( -1<b<0 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ không trùng với nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.
Phương trình ${{x}^{2}}-2x=c,\left( 0<c<1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{3}};{{x}_{4}}$ không trùng với nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ và phương trình $\left( 2 \right)$.
Phương trình ${{x}^{2}}-2x=d,\left( d>1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{5}};{{x}_{6}}$ không trùng với nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ và phương trình $\left( 2 \right)$ và phương trình $\left( 3 \right)$.
Vậy phương trình ${y}'=0$ có $7$ nghiệm phân biệt nên hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ có $7$ điểm cực trị.
Cách 2
Từ bảng biến thiên ta có phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có các nghiệm tương ứng là$\left[ \begin{aligned}
& x=a,a\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& x=b,b\in \left( -1;0 \right) \\
& x=c,c\in \left( 0;1 \right) \\
& x=d,d\in \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)\Rightarrow {y}'=2\left( x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow 2\left( x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-1=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x=a\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=b\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=c\text{ }\left( 3 \right) \\
& {{x}^{2}}-2x=d\text{ }\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vẽ đồ thị hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}-2x$
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm. Các phương trình $\left( 2 \right); \left( 3 \right); \left( 4 \right)$ mỗi phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau.
Vậy phương trình ${y}'=0$ có $7$ nghiệm phân biệt nên hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ có $7$ điểm cực trị.
Cách 3: Sử dụng phương pháp ghép trục
Đáp án C.