Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$, bảng biến thiên của hàm số $f'\left( x \right)$ như sau:
Số điểm cực trị của hàm số $y=f(4{{x}^{2}}+4x)$ là
A. 5.
B. 9.
C. 7.
D. 3.
Số điểm cực trị của hàm số $y=f(4{{x}^{2}}+4x)$ là
A. 5.
B. 9.
C. 7.
D. 3.
Có $\left( f\left( 4{{x}^{2}}+4x \right) \right)'=\left( 8x+4 \right)f'\left( 4{{x}^{2}}+4x \right),\left( f\left( 4{{x}^{2}}+4x \right) \right)'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{1}{2} \\
& f'\left( 4{{x}^{2}}+4x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên trên ta có $f'\left( 4{{x}^{2}}+4x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}+4x={{a}_{1}}\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& 4{{x}^{2}}+4x={{a}_{2}}\in \left( -1;0 \right) \\
& 4{{x}^{2}}+4x={{a}_{3}}\in \left( 0;1 \right) \\
& 4{{x}^{2}}+4x={{a}_{4}}\in \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Xét $g\left( x \right)=4{{x}^{2}}+4x,g'\left( x \right)=8x+4,g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$ ta có bảng biến thiên:
Kết hợp bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ và hệ (1) ta thấy:
Phương trình $4{{x}^{2}}+4x={{a}_{1}}\in \left( -\infty ;-1 \right)$ vô nghiệm.
Phương trình $4{{x}^{2}}+4x={{a}_{2}}\in \left( -1;0 \right)$ tìm được hai nghiệm phân biệt khác $-\dfrac{1}{2}$.
Phương trình $4{{x}^{2}}+4x={{a}_{3}}\in \left( 0;1 \right)$ tìm được thêm hai nghiệm mới phân biệt khác $-\dfrac{1}{2}$.
Phương trình $4{{x}^{2}}+4x={{a}_{4}}\in \left( 1;+\infty \right)$ tìm được thêm hai nghiệm phân biệt khác $-\dfrac{1}{2}$.
Vậy hàm số $y=f\left( 4{{x}^{2}}+4x \right)$ có tất cả 7 điểm cực trị.
& x=-\dfrac{1}{2} \\
& f'\left( 4{{x}^{2}}+4x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên trên ta có $f'\left( 4{{x}^{2}}+4x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}+4x={{a}_{1}}\in \left( -\infty ;-1 \right) \\
& 4{{x}^{2}}+4x={{a}_{2}}\in \left( -1;0 \right) \\
& 4{{x}^{2}}+4x={{a}_{3}}\in \left( 0;1 \right) \\
& 4{{x}^{2}}+4x={{a}_{4}}\in \left( 1;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Xét $g\left( x \right)=4{{x}^{2}}+4x,g'\left( x \right)=8x+4,g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$ ta có bảng biến thiên:
Kết hợp bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ và hệ (1) ta thấy:
Phương trình $4{{x}^{2}}+4x={{a}_{1}}\in \left( -\infty ;-1 \right)$ vô nghiệm.
Phương trình $4{{x}^{2}}+4x={{a}_{2}}\in \left( -1;0 \right)$ tìm được hai nghiệm phân biệt khác $-\dfrac{1}{2}$.
Phương trình $4{{x}^{2}}+4x={{a}_{3}}\in \left( 0;1 \right)$ tìm được thêm hai nghiệm mới phân biệt khác $-\dfrac{1}{2}$.
Phương trình $4{{x}^{2}}+4x={{a}_{4}}\in \left( 1;+\infty \right)$ tìm được thêm hai nghiệm phân biệt khác $-\dfrac{1}{2}$.
Vậy hàm số $y=f\left( 4{{x}^{2}}+4x \right)$ có tất cả 7 điểm cực trị.
Đáp án C.