Cho hàm số $f\left( x \right)$, bảng biến thiên của hàm số...

Ta có ${y}'={{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{\prime }}.{f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=\left( 2x+2 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)$
Phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+2=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ cắt đường thẳng $y=0$ tại 4 điểm phân biệt

Do đó ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}<-1 \\
& x={{x}_{2}}\in \left( -1; 0 \right) \\
& x={{x}_{3}}\in \left( 0; 1 \right) \\
& x={{x}_{4}}>1 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+2x={{x}_{1}}<-1 \\
& {{x}^{2}}+2x={{x}_{2}}\in \left( -1; 0 \right) \\
& {{x}^{2}}+2x={{x}_{3}}\in \left( 0; 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+2x={{x}_{4}}>1 \\
\end{aligned} \right.$
Chọn ${{x}_{1}}=-2; {{x}_{2}}=-\dfrac{1}{2}; {{x}_{3}}=\dfrac{1}{2}; {{x}_{4}}=2\Rightarrow $ (*) có 6 nghiệm phân biệt (bấm máy)
Vậy ${y}'=0$ có 7 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.