Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c \left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ.
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{2002\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{f\left( x \right)}$ là?
A. $3$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $2$.
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{2002\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{f\left( x \right)}$ là?
A. $3$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $2$.
+ Để tìm số đường tiệm cận đứng ta sẽ tìm nghiệm của mẫu:
Xét phương trình $f\left( x \right)=0$. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là $1$ và $-1$. Như vậy
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $g\left( x \right)=\dfrac{2002\left( x-1 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{a{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2002{{\left( x+2 \right)}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{a\left( x-1 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
Như vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có hai tiệm cận đứng là $x=1$ và $x=-1$.
+ Để tìm số đường tiệm cận ngang:
Ta có $\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2002\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{f\left( x \right)}=\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2002x\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{1+\dfrac{2020}{{{x}^{2}}}}}{a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c}$
$=\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2002\left( 1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{{{x}^{3}}} \right)\sqrt{1+\dfrac{2020}{{{x}^{2}}}}}{a+\dfrac{b}{{{x}^{2}}}+\dfrac{c}{{{x}^{4}}}}=\dfrac{2002}{a} \left( a\ne 0 \right)$.
$\underset{x-\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2002\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{f\left( x \right)}=\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{-2002x\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{1+\dfrac{2020}{{{x}^{2}}}}}{a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c}$
$=\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{-2002\left( 1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{{{x}^{3}}} \right)\sqrt{1+\dfrac{2020}{{{x}^{2}}}}}{a+\dfrac{b}{{{x}^{2}}}+\dfrac{c}{{{x}^{4}}}}=-\dfrac{2002}{a} \left( a\ne 0 \right)$
Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{2002\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{f\left( x \right)}$ có 2 đường tiệm cận ngang.
Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ là 4.
Xét phương trình $f\left( x \right)=0$. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là $1$ và $-1$. Như vậy
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $g\left( x \right)=\dfrac{2002\left( x-1 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{a{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2002{{\left( x+2 \right)}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{a\left( x-1 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
Như vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có hai tiệm cận đứng là $x=1$ và $x=-1$.
+ Để tìm số đường tiệm cận ngang:
Ta có $\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2002\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{f\left( x \right)}=\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2002x\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{1+\dfrac{2020}{{{x}^{2}}}}}{a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c}$
$=\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2002\left( 1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{{{x}^{3}}} \right)\sqrt{1+\dfrac{2020}{{{x}^{2}}}}}{a+\dfrac{b}{{{x}^{2}}}+\dfrac{c}{{{x}^{4}}}}=\dfrac{2002}{a} \left( a\ne 0 \right)$.
$\underset{x-\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2002\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{f\left( x \right)}=\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{-2002x\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{1+\dfrac{2020}{{{x}^{2}}}}}{a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c}$
$=\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{-2002\left( 1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{{{x}^{3}}} \right)\sqrt{1+\dfrac{2020}{{{x}^{2}}}}}{a+\dfrac{b}{{{x}^{2}}}+\dfrac{c}{{{x}^{4}}}}=-\dfrac{2002}{a} \left( a\ne 0 \right)$
Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{2002\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{f\left( x \right)}$ có 2 đường tiệm cận ngang.
Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ là 4.
Đáp án C.