Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ. Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{2020\text{x}}{f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-m \right]}$ có tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
Ta có $g\left( x \right)$ là hàm phân thức hữu tỉ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=0$, do đó đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ luôn có một tiệm cận ngang là $y=0$.
Phương trình $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\in \left( -2;-1 \right) \\
& x={{x}_{2}}\in \left( -1;0 \right) \\
& x={{x}_{3}}\in \left( 0;1 \right) \\
& x={{x}_{4}}\in \left( 1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta thấy phương trình $f\left( x \right)=0$ có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên $x={{x}_{1}},x={{x}_{2}},x={{x}_{3}},x={{x}_{4}}$ là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số $g\left( x \right)$.
Vậy để đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì phương trình $f\left( x \right)=m$ phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4 nghiệm ${{x}_{i}}$ ( $i=\overline{1,4}$ ) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{3}{2}<m<2 \\
& m\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ mà $ m\in \mathbb{Z} $ nên $ m\in \left\{ -1;1 \right\}$.
Phương trình $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\in \left( -2;-1 \right) \\
& x={{x}_{2}}\in \left( -1;0 \right) \\
& x={{x}_{3}}\in \left( 0;1 \right) \\
& x={{x}_{4}}\in \left( 1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta thấy phương trình $f\left( x \right)=0$ có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên $x={{x}_{1}},x={{x}_{2}},x={{x}_{3}},x={{x}_{4}}$ là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số $g\left( x \right)$.
Vậy để đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì phương trình $f\left( x \right)=m$ phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4 nghiệm ${{x}_{i}}$ ( $i=\overline{1,4}$ ) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{3}{2}<m<2 \\
& m\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ mà $ m\in \mathbb{Z} $ nên $ m\in \left\{ -1;1 \right\}$.
Đáp án A.