Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}$ ; ${{x}_{3}}$ thỏa mãn ${{x}_{3}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+\dfrac{2}{3}f\left( {{x}_{2}} \right)=0$. Gọi ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$, ${{S}_{3}}$, ${{S}_{4}}$ là diện tích các hình phẳng trong hình vẽ bên. Tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}}$ gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. $0,65$.
B. $0,7$.
C. $0,55$.
D. $0,6$.
B. $0,7$.
C. $0,55$.
D. $0,6$.
Hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đạo hàm như sau:
${f}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+2bx=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=-\dfrac{b}{2a} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{-\dfrac{b}{2a}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( ab<0 \right)$
Do đó hàm số có ba điểm cực trị ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}=0$ ; ${{x}_{3}}=-{{x}_{1}}$ vậy ${{x}_{3}}={{x}_{1}}+2$ $\Leftrightarrow -{{x}_{1}}={{x}_{1}}+2$ $\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-1$ $\Rightarrow {{x}_{3}}=1$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)=4a\left( x+1 \right)x\left( x-1 \right)$ $=4a\left( {{x}^{3}}-x \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}$ $=a\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)+c$
Do $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+\dfrac{2}{3}f\left( {{x}_{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow f\left( -1 \right)+f\left( 1 \right)+\dfrac{2}{3}f\left( 0 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( c-a \right)+\left( c-a \right)+\dfrac{2}{3}c=0$
$\Leftrightarrow c=\dfrac{3}{4}a$. Vậy $f\left( x \right)=a\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)$
Xét $f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& x=\pm \sqrt{\dfrac{3}{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=$ $\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{f\left( x \right)dx}=$ $a\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)dx}$ $=\dfrac{7\sqrt{2}}{30}a$.
${{S}_{2}}=\int\limits_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}^{1}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=$ $-\int\limits_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}^{1}{f\left( x \right)dx}=$ $-a\int\limits_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}^{1}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)dx}$ $=\dfrac{14\sqrt{2}-17}{60}a$.
Suy ra ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=$ $\dfrac{7\sqrt{2}}{30}a$ $+\dfrac{14\sqrt{2}-17}{60}a=$ $\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}a$.
Ta có ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}$ là diện tích hình chữ nhật có các kích thước $1$ ; $f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{3}} \right)$ $=a$.
Khi đó ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}$ $=a$.
Do đó ${{S}_{3}}+{{S}_{4}}=$ $a-\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right)$ $=a-\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}a$ $=\dfrac{7\left( 11-4\sqrt{2} \right)}{60}a$.
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}}$ $=\dfrac{28\sqrt{2}-17}{7\left( 11-4\sqrt{2} \right)}$ $\approx 0,6$.
${f}'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+2bx=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=-\dfrac{b}{2a} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{-\dfrac{b}{2a}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( ab<0 \right)$
Do đó hàm số có ba điểm cực trị ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}=0$ ; ${{x}_{3}}=-{{x}_{1}}$ vậy ${{x}_{3}}={{x}_{1}}+2$ $\Leftrightarrow -{{x}_{1}}={{x}_{1}}+2$ $\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-1$ $\Rightarrow {{x}_{3}}=1$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)=4a\left( x+1 \right)x\left( x-1 \right)$ $=4a\left( {{x}^{3}}-x \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}$ $=a\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)+c$
Do $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+\dfrac{2}{3}f\left( {{x}_{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow f\left( -1 \right)+f\left( 1 \right)+\dfrac{2}{3}f\left( 0 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( c-a \right)+\left( c-a \right)+\dfrac{2}{3}c=0$
$\Leftrightarrow c=\dfrac{3}{4}a$. Vậy $f\left( x \right)=a\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)$
Xét $f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& x=\pm \sqrt{\dfrac{3}{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=$ $\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{f\left( x \right)dx}=$ $a\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)dx}$ $=\dfrac{7\sqrt{2}}{30}a$.
${{S}_{2}}=\int\limits_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}^{1}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=$ $-\int\limits_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}^{1}{f\left( x \right)dx}=$ $-a\int\limits_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}^{1}{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right)dx}$ $=\dfrac{14\sqrt{2}-17}{60}a$.
Suy ra ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=$ $\dfrac{7\sqrt{2}}{30}a$ $+\dfrac{14\sqrt{2}-17}{60}a=$ $\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}a$.
Ta có ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}$ là diện tích hình chữ nhật có các kích thước $1$ ; $f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{3}} \right)$ $=a$.
Khi đó ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}$ $=a$.
Do đó ${{S}_{3}}+{{S}_{4}}=$ $a-\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right)$ $=a-\dfrac{28\sqrt{2}-17}{60}a$ $=\dfrac{7\left( 11-4\sqrt{2} \right)}{60}a$.
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}}$ $=\dfrac{28\sqrt{2}-17}{7\left( 11-4\sqrt{2} \right)}$ $\approx 0,6$.
Đáp án D.