Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Đặt $g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2\left( {{x}^{2}}-4x \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}-12\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 1;4 \right]$ bằng
A. $-12-2\sqrt{6}$.
B. $12-2\sqrt{12}$.
C. $12-12\sqrt{6}$.
D. $-12-12\sqrt{6}$.
Ta có $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ đi qua điểm $\left( 0;-3 \right),\left( -1;-4 \right)$ và đạt cực trị tại $x=1$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& c=-3 \\
& a+b+c=-4 \\
& 4a+2b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-2 \\
& c=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3.$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}$ vì $x\in \left[ 1;4 \right]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]$.
Khi đó $g\left( t \right)=f\left( t \right)-2t\left( {{t}^{2}}-6 \right)-12t+1=f\left( t \right)-2{{t}^{3}}+1={{t}^{4}}-2{{t}^{3}}-2{{t}^{2}}-2$.
${f}'\left( t \right)=4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\left( L \right) \\
& t=2 \\
& t=-\dfrac{1}{2}\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $g\left( \sqrt{2} \right)=-2-4\sqrt{2},g\left( 2 \right)=-10,g\left( \sqrt{6} \right)=22-12\sqrt{6}$.
Suy ra $\underset{t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=22-12\sqrt{6},\underset{t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=-10$.
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 1;4 \right]$ bằng $12-12\sqrt{6}$.
A. $-12-2\sqrt{6}$.
B. $12-2\sqrt{12}$.
C. $12-12\sqrt{6}$.
D. $-12-12\sqrt{6}$.
Ta có $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ đi qua điểm $\left( 0;-3 \right),\left( -1;-4 \right)$ và đạt cực trị tại $x=1$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& c=-3 \\
& a+b+c=-4 \\
& 4a+2b=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-2 \\
& c=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3.$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}$ vì $x\in \left[ 1;4 \right]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]$.
Khi đó $g\left( t \right)=f\left( t \right)-2t\left( {{t}^{2}}-6 \right)-12t+1=f\left( t \right)-2{{t}^{3}}+1={{t}^{4}}-2{{t}^{3}}-2{{t}^{2}}-2$.
${f}'\left( t \right)=4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\left( L \right) \\
& t=2 \\
& t=-\dfrac{1}{2}\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $g\left( \sqrt{2} \right)=-2-4\sqrt{2},g\left( 2 \right)=-10,g\left( \sqrt{6} \right)=22-12\sqrt{6}$.
Suy ra $\underset{t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=22-12\sqrt{6},\underset{t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=-10$.
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 1;4 \right]$ bằng $12-12\sqrt{6}$.
Đáp án C.