Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, với $a\ne 0$ có đồ thị tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $1$ và cắt đường thẳng $y=2m-1$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $0$ và $4$, với $m$ là tham số. Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=f\left( -3 \right)$ là.
A. $2$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $1$.
Do đồ thị $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $1$ nên đồ thị còn cắt trục hoành tại một điểm khác nữa, ta giả sử điểm đó có hoành độ ${{x}_{0}}\ne 1$.
Khi đó $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-{{x}_{0}} \right)$.
Do đồ thị $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ cắt đường thẳng $y=2m-1$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $0$ và $4$ nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=2m-1 \\
& f\left( 4 \right)=2m-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a.{{x}_{0}}=2m-1 \\
& 9a.\left( 4-{{x}_{0}} \right)=2m-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -a.{{x}_{0}}=9a.\left( 4-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\dfrac{9}{2}$.
Suy ra $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-\dfrac{9}{2} \right)$.
Vậy $f\left( x \right)=f\left( -3 \right)\Leftrightarrow a{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-\dfrac{9}{2} \right)=-120a\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-13{{x}^{2}}+20x+231=0\Leftrightarrow x=-3$.
Khi đó $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-{{x}_{0}} \right)$.
Do đồ thị $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ cắt đường thẳng $y=2m-1$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $0$ và $4$ nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=2m-1 \\
& f\left( 4 \right)=2m-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a.{{x}_{0}}=2m-1 \\
& 9a.\left( 4-{{x}_{0}} \right)=2m-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -a.{{x}_{0}}=9a.\left( 4-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\dfrac{9}{2}$.
Suy ra $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-\dfrac{9}{2} \right)$.
Vậy $f\left( x \right)=f\left( -3 \right)\Leftrightarrow a{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-\dfrac{9}{2} \right)=-120a\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-13{{x}^{2}}+20x+231=0\Leftrightarrow x=-3$.
Đáp án D.