Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ (với $a,$ $b,$ $c,$ $d\in \mathbb{R}$ và $a\ne 0$ ) có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( -2{{x}^{2}}+4x \right)$ là
A. $2$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $3$.
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( -2{{x}^{2}}+4x \right)$ là
A. $2$.
B. $5$.
C. $4$.
D. $3$.
Ta có $g'\left( x \right)=\left( -4x+4 \right).f'\left( -2{{x}^{2}}+4x \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -4x+4=0 \\
& f'\left( -2{{x}^{2}}+4x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& f'\left( -2{{x}^{2}}+4x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $f'\left( -2{{x}^{2}}+4x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -2{{x}^{2}}+4x=-2 \\
& -2{{x}^{2}}+4x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\pm \sqrt{2} \\
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $g'\left( x \right)=0$ có $5$ nghiệm bội lẻ nên hàm số $g\left( x \right)$ có $5$ điểm cực trị
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -4x+4=0 \\
& f'\left( -2{{x}^{2}}+4x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& f'\left( -2{{x}^{2}}+4x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $f'\left( -2{{x}^{2}}+4x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -2{{x}^{2}}+4x=-2 \\
& -2{{x}^{2}}+4x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\pm \sqrt{2} \\
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình $g'\left( x \right)=0$ có $5$ nghiệm bội lẻ nên hàm số $g\left( x \right)$ có $5$ điểm cực trị
Đáp án B.