Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ...

Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( 0;2 \right)$, $\left( 2;-2 \right)$. Đồng thời đây cũng là hai điểm cực trị của hàm số. Do đó ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)=-2 \\
& {f}'\left( 2 \right)=0 \\
& f\left( 0 \right)=2 \\
& {f}'\left( 0 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8\text{a}+4b+2c+d=-2 \\
& 12\text{a}+4b+c=0 \\
& d=2 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-3 \\
& c=0 \\
& d=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $S=a+b+c+d=1+\left( -3 \right)+0+2=0$.