Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho

(x - 1) [m^{3} . f (2 x - 1) - m . f (x) + f (x) - 1] \geq 0, \forall x \in R

. Số phần tử của tập S là?

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Xét

g (x) = (x - 1) . h (x) \geq 0, \forall x \in R

với

h (x) = m^{3} . f (2 x - 1) - m . f (x) + f (x) - 1

.
Do

{\begin{aligned} x - 1 > 0 \forall x > 1 \Rightarrow h (x) \geq 0 \forall x > 1 \\ x - 1 < 0 \forall x < 1 \Rightarrow h (x) \leq 0 \forall x < 1 \end{aligned} (*) \Rightarrow h (x) = 0

tại

x = 1

.
Suy ra:

m^{3} . f (1) - m . f (1) + f (1) - 1 = 0 \Rightarrow m^{3} - m = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = 0 \\ m = \pm 1 \end{aligned}

.
Với

m = 0 \Rightarrow h (x) = f (1) - 1

thỏa mãn (*) do hàm

f (x)

đồng biến và

f (1) = 1

.
Với

m = 1 \Rightarrow h (x) = f (2 x - 1) - 1

thỏa mãn (*).
Do

x > 1

thì

2 x - 1 > 1 \Rightarrow f (2 x - 1) - 1 > 0

và

x < 1

thì

2 x - 1 < 1 \Rightarrow f (2 x - 1) - 1 < 0

.
Với

m = - 1 \Rightarrow h (x) = - f (2 x - 1) + 2 f (x) - 1

.
Khi đó

h (x)

là hàm số bậc ba có hệ số

a < 0

nên

lim_{x \to + \infty} h (x) < 0

không thỏa mãn (*).
Vậy

m = 0

và

m = 1

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x)=ax3+bx2+cx+d có đồ...