Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ...

Xét $g\left( x \right)=\left( x-1 \right).h\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ với $h\left( x \right)={{m}^{3}}.f\left( 2x-1 \right)-m.f\left( x \right)+f\left( x \right)-1$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& x-1>0\forall x>1\Rightarrow h\left( x \right)\ge 0\forall x>1 \\
& x-1<0\forall x<1\Rightarrow h\left( x \right)\le 0\forall x<1 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)\Rightarrow h\left( x \right)=0 $ tại $ x=1$.
Suy ra: ${{m}^{3}}.f\left( 1 \right)-m.f\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)-1=0\Rightarrow {{m}^{3}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m=0\Rightarrow h\left( x \right)=f\left( 1 \right)-1$ thỏa mãn (*) do hàm $f\left( x \right)$ đồng biến và $f\left( 1 \right)=1$.
Với $m=1\Rightarrow h\left( x \right)=f\left( 2x-1 \right)-1$ thỏa mãn (*).
Do $x>1$ thì $2x-1>1\Rightarrow f\left( 2x-1 \right)-1>0$ và $x<1$ thì $2x-1<1\Rightarrow f\left( 2x-1 \right)-1<0$.
Với $m=-1\Rightarrow h\left( x \right)=-f\left( 2x-1 \right)+2f\left( x \right)-1$.
Khi đó $h\left( x \right)$ là hàm số bậc ba có hệ số $a<0$ nên $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} h\left( x \right)<0$ không thỏa mãn (*).
Vậy $m=0$ và $m=1$.