Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx-1;$...

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c$, ${f^{\prime }}^{\prime }\left(x\right)=6ax+2b$. Cho ${f^{\prime }}^{\prime }\left(2\right)=0\iff 12a+2b=0$ $\iff b=-6a$.
Do $f\left(x\right)$ bậc 3 và $g\left(x\right)$ bậc hai và quan sát đồ thị đã cho ta thấy tại các điểm cực trị $x_0$ của hàm số $f\left(x\right)$ thì $g\left(x_0\right)=0$ nên $g\left(x\right)=k.f^{\prime }\left(x\right)$ $\iff m{x}^2+nx+1=k(3a{x}^2+2bx+c)$
$\Rightarrow \{\begin{array}{c}m=3ka\\ n=-12ka\\ 1=kc\end{array}\Rightarrow g\left(x\right)=3ka(x^2-4x)+1$.
Ta lại có $ming\left(x\right)=g\left(2\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ $\Rightarrow 1-12ka=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow ka={\displaystyle \frac{1}{9}}$. Khi đó $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2-4x+3)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là
$f\left(x\right)=g\left(x\right)\iff a{x}^3+b{x}^2+cx-1-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2-4x+3)=0(\ast )$
Theo đề phương trình $(\ast )$ có 3 nghiệm $x_1,x_2,x_3$ thỏa $x_1+x_2+x_3=7$
Suy ra ${\displaystyle \frac{-b+{\displaystyle \frac{1}{3}}}{a}}={\displaystyle \frac{6a+{\displaystyle \frac{1}{3}}}{a}}=7\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{3}}$ $\Rightarrow k={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow c=3$. Khi đó $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+3x-1$.
Phương trình $(\ast )$ trở thành ${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+3x-1={\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2-4x+3)\iff [\begin{array}{rl}& x={\displaystyle \frac{5-\sqrt{13}}{2}}\\ & x=2\\ & x={\displaystyle \frac{5+\sqrt{13}}{2}}\end{array}$.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{5-\sqrt{13}}{2}}}{\int }}[{\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2-4x+3)-({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+3x-1)]\text{d}x\simeq 0,5851$