Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-1;$ $g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+nx+1$ có đồ thị như hình vẽ bên
Biết rằng ${{f}'}'\left( 2 \right)=0$ và hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}, {{x}_{3}}$ thỏa ${{x}_{1}}+ {{x}_{2}}+ {{x}_{3}}=7$. Diện tích của hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 0 ;\dfrac{2}{5} \right)$.
B. $\left( \dfrac{2}{5} ;\dfrac{1}{2} \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{2} ;\dfrac{3}{5} \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{5};1 \right)$.
A. $\left( 0 ;\dfrac{2}{5} \right)$.
B. $\left( \dfrac{2}{5} ;\dfrac{1}{2} \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{2} ;\dfrac{3}{5} \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{5};1 \right)$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$, ${{f}'}'\left( x \right)=6ax+2b$. Cho ${{f}'}'\left( 2 \right)=0\Leftrightarrow 12a+2b=0$ $\Leftrightarrow b=-6a$.
Do $f\left( x \right)$ bậc 3 và $g\left( x \right)$ bậc hai và quan sát đồ thị đã cho ta thấy tại các điểm cực trị ${{x}_{0}}$ của hàm số $f\left( x \right)$ thì $g\left( {{x}_{0}} \right)=0$ nên $g\left( x \right)=k.{f}'\left( x \right)$ $\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+nx+1=k\left( 3a{{x}^{2}}+2bx+c \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m=3ka \\
n=-12ka \\
1=kc \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=3ka\left( {{x}^{2}}-4x \right)+1$.
Ta lại có $\min g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=-\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow 1-12ka=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow ka=\dfrac{1}{9}$. Khi đó $g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là
$f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-1-\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)=0 \left( * \right)$
Theo đề phương trình $\left( * \right)$ có 3 nghiệm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}, {{x}_{3}}$ thỏa ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=7$
Suy ra $\dfrac{-b+\dfrac{1}{3}}{a}=\dfrac{6a+\dfrac{1}{3}}{a}=7\Rightarrow a=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow k=\dfrac{1}{3}\Rightarrow c=3$. Khi đó $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1$.
Phương trình $\left( * \right)$ trở thành $\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1=\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2} \\
& x=2 \\
& x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\int\limits_{0}^{\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}}{\left[ \dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)-\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1 \right) \right]}\text{d}x\simeq 0,5851$
Do $f\left( x \right)$ bậc 3 và $g\left( x \right)$ bậc hai và quan sát đồ thị đã cho ta thấy tại các điểm cực trị ${{x}_{0}}$ của hàm số $f\left( x \right)$ thì $g\left( {{x}_{0}} \right)=0$ nên $g\left( x \right)=k.{f}'\left( x \right)$ $\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+nx+1=k\left( 3a{{x}^{2}}+2bx+c \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m=3ka \\
n=-12ka \\
1=kc \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=3ka\left( {{x}^{2}}-4x \right)+1$.
Ta lại có $\min g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=-\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow 1-12ka=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow ka=\dfrac{1}{9}$. Khi đó $g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là
$f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-1-\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)=0 \left( * \right)$
Theo đề phương trình $\left( * \right)$ có 3 nghiệm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}, {{x}_{3}}$ thỏa ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=7$
Suy ra $\dfrac{-b+\dfrac{1}{3}}{a}=\dfrac{6a+\dfrac{1}{3}}{a}=7\Rightarrow a=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow k=\dfrac{1}{3}\Rightarrow c=3$. Khi đó $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1$.
Phương trình $\left( * \right)$ trở thành $\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1=\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2} \\
& x=2 \\
& x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\int\limits_{0}^{\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}}{\left[ \dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)-\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1 \right) \right]}\text{d}x\simeq 0,5851$
Đáp án C.