Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-1$ ; $g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+nx+1$ có đồ thị như hình vẽ bên
Biết rằng ${{f}'}'\left( 2 \right)=0$ và hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=7$. Diện tích của hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 0;\dfrac{2}{5} \right)$.
B. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{1}{2} \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{5} \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{5};1 \right)$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c;{{f}'}'\left( x \right)=6ax+2b\Rightarrow {{f}'}'\left( 2 \right)=0\Leftrightarrow 12a+2b=0\Leftrightarrow b=-2a$
Vậy $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-6a{{x}^{2}}+cx-1$.
Do $f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba và $g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai và quan sát đồ thị đã cho tại các điểm cực trị ${{x}_{0}}$ của $f\left( x \right)$ thì $g\left( {{x}_{0}} \right)=0$
Do đó: $g\left( x \right)=k.{f}'\left( x \right)\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+nx+1=k\left( 3a{{x}^{2}}-12ax+c \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=3ka \\
& n=-12ka \\
& 1=kc \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=3ka\left( {{x}^{2}}-4x \right)+1$
$\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=1-12ka=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow ka=\dfrac{1}{9}\Rightarrow g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$S=-\int\limits_{0}^{\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)}dx=-\int\limits_{0}^{\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1-\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right) \right)}dx=\dfrac{89-13\sqrt{13}}{72}\approx 0,5851$.
A. $\left( 0;\dfrac{2}{5} \right)$.
B. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{1}{2} \right)$.
C. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{5} \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{5};1 \right)$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c;{{f}'}'\left( x \right)=6ax+2b\Rightarrow {{f}'}'\left( 2 \right)=0\Leftrightarrow 12a+2b=0\Leftrightarrow b=-2a$
Vậy $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-6a{{x}^{2}}+cx-1$.
Do $f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba và $g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai và quan sát đồ thị đã cho tại các điểm cực trị ${{x}_{0}}$ của $f\left( x \right)$ thì $g\left( {{x}_{0}} \right)=0$
Do đó: $g\left( x \right)=k.{f}'\left( x \right)\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+nx+1=k\left( 3a{{x}^{2}}-12ax+c \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=3ka \\
& n=-12ka \\
& 1=kc \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g\left( x \right)=3ka\left( {{x}^{2}}-4x \right)+1$
$\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=1-12ka=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow ka=\dfrac{1}{9}\Rightarrow g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1=\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)\Leftrightarrow x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2};x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}.$
Vậy diện tích cần tính cần tính là:$S=-\int\limits_{0}^{\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)}dx=-\int\limits_{0}^{\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-1-\dfrac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right) \right)}dx=\dfrac{89-13\sqrt{13}}{72}\approx 0,5851$.
Đáp án C.