Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a\sin x+b\cos x$ (với $a,b\in \mathbb{R};b>0$ ), có ${f}'\left( 0 \right)=1$. Gọi hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ với các trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=\pi $. Khi quay $\left( H \right)$ quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng $\dfrac{17{{\pi }^{2}}}{2}$. Khi đó giá trị biểu thức $T=2021\text{a}+{{b}^{10}}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( {{2}^{10}};{{3}^{10}} \right)$
B. $\left( {{3}^{10}};{{4}^{10}} \right)$
C. $\left( {{4}^{10}};{{5}^{10}} \right)$
D. $\left( {{7}^{2020}};{{9}^{2020}} \right)$
A. $\left( {{2}^{10}};{{3}^{10}} \right)$
B. $\left( {{3}^{10}};{{4}^{10}} \right)$
C. $\left( {{4}^{10}};{{5}^{10}} \right)$
D. $\left( {{7}^{2020}};{{9}^{2020}} \right)$
Thể tích của vật thể là:
$\dfrac{17{{\pi }^{2}}}{2}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( a\sin x+b\cos x \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\left( {{a}^{2}}{{\sin }^{2}}x+{{b}^{2}}{{\cos }^{2}}x+2ab\sin x\cos x \right)dx}$
$=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\left( {{a}^{2}}\dfrac{1-\cos 2x}{2}+{{b}^{2}}\dfrac{1+\cos 2x}{2}+ab\sin 2x \right)dx}$
$=\left. \pi \left[ {{a}^{2}}\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4} \right)+{{b}^{2}}\left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4} \right)-\dfrac{ab}{2}\cos 2x \right] \right|_{0}^{\pi }=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\dfrac{{{\pi }^{2}}}{2}$.
Suy ra có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=17$.
Mặt khác ${f}'\left( x \right)=a\cos x-b\sin x\Rightarrow 1={f}'\left( 0 \right)=a\Rightarrow a=1\Rightarrow b=4$.
Ta được $T=2020+{{4}^{10}}$.
$\dfrac{17{{\pi }^{2}}}{2}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( a\sin x+b\cos x \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\left( {{a}^{2}}{{\sin }^{2}}x+{{b}^{2}}{{\cos }^{2}}x+2ab\sin x\cos x \right)dx}$
$=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\left( {{a}^{2}}\dfrac{1-\cos 2x}{2}+{{b}^{2}}\dfrac{1+\cos 2x}{2}+ab\sin 2x \right)dx}$
$=\left. \pi \left[ {{a}^{2}}\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4} \right)+{{b}^{2}}\left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4} \right)-\dfrac{ab}{2}\cos 2x \right] \right|_{0}^{\pi }=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\dfrac{{{\pi }^{2}}}{2}$.
Suy ra có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=17$.
Mặt khác ${f}'\left( x \right)=a\cos x-b\sin x\Rightarrow 1={f}'\left( 0 \right)=a\Rightarrow a=1\Rightarrow b=4$.
Ta được $T=2020+{{4}^{10}}$.
Đáp án C.