Cho hàm số $f (x) = a \sin x + b \cos x$ (với $a,b\in...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = a \sin x + b \cos x

(với

a, b \in R; b > 0

), có

f^{'} (0) = 1

. Gọi hình phẳng

(H)

giới hạn bởi đồ thị hàm số

f (x)

với các trục hoành, trục tung và đường thẳng

x = π

. Khi quay

(H)

quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng

\frac{17 π^{2}}{2}

. Khi đó giá trị biểu thức

T = 2021 a + b^{10}

thuộc khoảng nào sau đây?
A.

(2^{10}; 3^{10})

B.

(3^{10}; 4^{10})

C.

(4^{10}; 5^{10})

D.

(7^{2020}; 9^{2020})

Thể tích của vật thể là:

\frac{17 π^{2}}{2} = π \int_{0}^{π} {(a \sin x + b \cos x)}^{2} d x = π \int_{0}^{π} (a^{2} \sin^{2} x + b^{2} \cos^{2} x + 2 a b \sin x \cos x) d x

= π \int_{0}^{π} (a^{2} \frac{1 - \cos 2 x}{2} + b^{2} \frac{1 + \cos 2 x}{2} + a b \sin 2 x) d x

= {π [a^{2} (\frac{x}{2} - \frac{\sin 2 x}{4}) + b^{2} (\frac{x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4}) - \frac{a b}{2} \cos 2 x] |}_{0}^{π} = (a^{2} + b^{2}) \frac{π^{2}}{2}

.
Suy ra có

a^{2} + b^{2} = 17

.
Mặt khác

f^{'} (x) = a \cos x - b \sin x \Rightarrow 1 = f^{'} (0) = a \Rightarrow a = 1 \Rightarrow b = 4

.
Ta được

T = 2020 + 4^{10}

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x)=asin⁡x+bcos⁡x (với $a,b\in...