Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x-4}}+\left( x+1 \right){{.2}^{7-x}}-6x+3,$ khi phương trình $f\left( 7-4\sqrt{6x-9{{x}^{2}}} \right)+3m-1=0$ có số nghiệm nhiều nhất thì giá trị nhỏ nhất của tham số $m={{m}_{0}},$ chọn mệnh đề đúng.
A. ${{m}_{0}}\in \left[ 0;1 \right).$
B. ${{m}_{0}}\in \left[ 1;2 \right).$
C. ${{m}_{0}}\in \left[ 2;3 \right).$
D. ${{m}_{0}}\in \left[ 3;4 \right].$
A. ${{m}_{0}}\in \left[ 0;1 \right).$
B. ${{m}_{0}}\in \left[ 1;2 \right).$
C. ${{m}_{0}}\in \left[ 2;3 \right).$
D. ${{m}_{0}}\in \left[ 3;4 \right].$
HD: Đặt $t=7-4\sqrt{6x-9{{x}^{2}}},$ với $x\in \left[ 0;\dfrac{2}{3} \right]\Rightarrow 3\le t\le 7$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x-4}}+\left( x+1 \right){{.2}^{7-x}}-6x+3$ trên $\left[ 3;7 \right],$ có
${f}'\left( x \right)={{3}^{x-4}}\ln 3+{{2}^{7-x}}-(t+1){{.2}^{7-x}}.\ln 2-6;$
${f}''\left( x \right)={{3}^{x-4}}{{\ln }^{2}}3+\left[ \left( t+1 \right)\ln 2-2 \right]{{.2}^{7-x}}\ln 2>0;\forall x\in \left[ 3;7 \right]$
Suy ra ${f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 3;7 \right).$ Mà ${f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 3;7 \right]$ và ${f}'\left( 3 \right).{f}'\left( 7 \right)<0$
Do đó ${f}'\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}\in \left( 3;7 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên, ta được $f\left( x \right)=1-3m$ có nhiều nghiệm nhất $\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)<1-3m\le -4$
$\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}\le m<\dfrac{1-f\left( {{x}_{0}} \right)}{3}\xrightarrow{{}}{{m}_{\min }}=\dfrac{5}{3}\in \left[ 2;3 \right).$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x-4}}+\left( x+1 \right){{.2}^{7-x}}-6x+3$ trên $\left[ 3;7 \right],$ có
${f}'\left( x \right)={{3}^{x-4}}\ln 3+{{2}^{7-x}}-(t+1){{.2}^{7-x}}.\ln 2-6;$
${f}''\left( x \right)={{3}^{x-4}}{{\ln }^{2}}3+\left[ \left( t+1 \right)\ln 2-2 \right]{{.2}^{7-x}}\ln 2>0;\forall x\in \left[ 3;7 \right]$
Suy ra ${f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 3;7 \right).$ Mà ${f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 3;7 \right]$ và ${f}'\left( 3 \right).{f}'\left( 7 \right)<0$
Do đó ${f}'\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}\in \left( 3;7 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên, ta được $f\left( x \right)=1-3m$ có nhiều nghiệm nhất $\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)<1-3m\le -4$
$\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}\le m<\dfrac{1-f\left( {{x}_{0}} \right)}{3}\xrightarrow{{}}{{m}_{\min }}=\dfrac{5}{3}\in \left[ 2;3 \right).$
Đáp án C.