Cho hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x-4}}+\left( x+1...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = 3^{x - 4} + (x + 1) {.2}^{7 - x} - 6 x + 3,

khi phương trình

f (7 - 4 \sqrt{6 x - 9 x^{2}}) + 3 m - 1 = 0

có số nghiệm nhiều nhất thì giá trị nhỏ nhất của tham số

m = m_{0},

chọn mệnh đề đúng.
A.

m_{0} \in [0; 1) .

B.

m_{0} \in [1; 2) .

C.

m_{0} \in [2; 3) .

D.

m_{0} \in [3; 4] .

HD: Đặt

t = 7 - 4 \sqrt{6 x - 9 x^{2}},

với

x \in [0; \frac{2}{3}] \Rightarrow 3 \leq t \leq 7

Xét hàm số

f (x) = 3^{x - 4} + (x + 1) {.2}^{7 - x} - 6 x + 3

trên

[3; 7],

có

f^{'} (x) = 3^{x - 4} \ln 3 + 2^{7 - x} - (t + 1) {.2}^{7 - x} . \ln 2 - 6;

f^{″} (x) = 3^{x - 4} \ln^{2} 3 + [(t + 1) \ln 2 - 2] {.2}^{7 - x} \ln 2 > 0; \forall x \in [3; 7]

Suy ra

f^{'} (x)

đồng biến trên

(3; 7) .

Mà

f^{'} (x)

liên tục trên

[3; 7]

và

f^{'} (3) . f^{'} (7) < 0

Do đó

f^{'} (x) = 0

có nghiệm duy nhất

x_{0} \in (3; 7)

Dựa vào bảng biến thiên, ta được

f (x) = 1 - 3 m

có nhiều nghiệm nhất

\Leftrightarrow f (x_{0}) < 1 - 3 m \leq - 4

\Leftrightarrow \frac{5}{3} \leq m < \frac{1 - f (x_{0})}{3} \overset{}{\to} m_{min} = \frac{5}{3} \in [2; 3) .

Đáp án C.