Cho hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}-{{3}^{-x}}$, với...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}-{{3}^{-x}}$.
Ta có ${f}'\left( x \right)={{3}^{x}}.\ln 3+{{3}^{-x}}.\ln 3>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Hơn nữa $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$ và $f\left( -x \right)={{3}^{-x}}-{{3}^{x}}=-\left( {{3}^{x}}-{{3}^{-x}} \right)=-f\left( x \right)$ nên hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Theo đề: $f\left( 3{{\log }_{2}}m \right)+f\left( \log _{2}^{2}m+2 \right)=0$ (Điều kiện $m>0$ )
$\Leftrightarrow f\left( \log _{2}^{2}m+2 \right)=-f\left( 3{{\log }_{2}}m \right)\Leftrightarrow f\left( \log _{2}^{2}m+2 \right)=f\left( -3{{\log }_{2}}m \right)$ (vì hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ
$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}m+2=-3{{\log }_{2}}m$ (vì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến) $\Leftrightarrow \log _{2}^{2}m+3{{\log }_{2}}m+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}m=-1 \\
& {{\log }_{2}}m=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{2}\left( \text{ thoa man} \right) \\
& m=\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $T=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$.