Cho hàm số $f\left( x \right)=2x+\sin x+\cos 5x.$ Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=-2.$

Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int{{{x}^{n}}dx}=\dfrac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C\left( n\ne -1 \right),\int{\sin kxdx}=-\dfrac{1}{k}\cos x+C,\int{\cos kxdx}=\dfrac{1}{k}\sin kx+C$ tìm hàm $F\left( x \right).$
- Sử dụng giải thiết $F\left( 0 \right)=-2$ tìm hằng số $C.$
Cách giải:
Ta có
$F\left( x \right)=\int{\left( 2x+\sin x+\cos 5x \right)dx}$
$={{x}^{2}}-\cos x+\dfrac{1}{5}\sin 5x+C$
Vì $F\left( 0 \right)=-2\Rightarrow 0-1+\dfrac{1}{5}.0+C=-2\Leftrightarrow C=-1.$
Vậy $F\left( x \right)={{x}^{2}}-\cos x+\dfrac{1}{5}\sin 5x-1.$