Cho hàm số $f\left( x \right)={{2021}^{x}}-{{2021}^{-x}}+2022\ln...

Xét hàm số $f\left(x\right)={2021}^x-{2021}^{-x}+2022\ln (x+\sqrt{x^2+1})$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$f(-x)={2021}^{-x}-{2021}^x+2022\ln (\sqrt{x^2+1}-x)$
$={2021}^{-x}-{2021}^x+2022\ln \left({(\sqrt{x^2+1}+x)}^{-1}\right)$
$={2021}^{-x}-{2021}^x-2022\ln (\sqrt{x^2+1}+x)$
$=-f\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in D$
Vậy $f\left(x\right)$ là một hàm số lẻ trên $D$.
$f^{\prime }\left(x\right)={2021}^x\cdot \ln 2021+{2021}^{-x}\cdot \ln 2021+2022{\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}}{x+\sqrt{x^2+1}}}$ $={2021}^x\cdot \ln 2021+{2021}^{-x}\cdot \ln 2021+2022{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}>0,\mathrm{\forall }x\in D$
$\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $D$
Ta có: $f(9^x+5)+f(-2\cdot 3^{x+1}-m)\le 0$
Vì $f\left(x\right)$ là hàm số lẻ nên $(\ast )\iff f(9^x+5)-f(2\cdot 3^{x+1}+m)\le 0$
$\iff f(9^x+5)\le f(2\cdot 3^{x+1}+m)$ $(\ast \ast )$
Và do $f\left(x\right)$ là một hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $(\ast \ast )\iff 9^x+5\le 2\cdot 3^{x+1}+m$
Bài toán trở thành tìm $m$ để bpt $9^x+5\le 2\cdot 3^{x+1}+m$ có nghiệm thuộc đoạn $[0;2]$
Đặt $t=3^x$ bài toán trở thành tìm $m$ để bpt $t^2+5\le 6t+m$ có nghiệm thuộc đoạn $[1;9]$
Xét bpt $t^2+5\le 6t+m$ $\iff t^2-6t+5\le m$ trên đoạn $[1;9]$
Ta có BBT của vế trái như sau:
Vậy, bất phương trình có nghiệm thuộc đoạn $[1;9]$ khi và chỉ khi $m\ge -4$.
Mà $\{\begin{array}{rl}& m\in \mathbb{Z}\\ & m\in [-2022;2022]\end{array}$ nên $m\in \{-4;-3;...;2022\}$.
Vậy có $2022-(-4)+1=2027$ giá trị của $m$ thỏa đề.