Cho hàm số $f\left( x \right)={{2021}^{x}}-{{2021}^{-x}}+2022\ln...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{2021}^{x}}-{{2021}^{-x}}+2022\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$f\left( -x \right)={{2021}^{-x}}-{{2021}^{x}}+2022\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)$
$={{2021}^{-x}}-{{2021}^{x}}+2022\ln \left( {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)}^{-1}} \right)$
$={{2021}^{-x}}-{{2021}^{x}}-2022\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)$
$=-f\left( x \right),\forall x\in D$
Vậy $f\left( x \right)$ là một hàm số lẻ trên $D$.
${f}'\left( x \right)={{2021}^{x}}\cdot \ln 2021+{{2021}^{-x}}\cdot \ln 2021+2022\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$ $={{2021}^{x}}\cdot \ln 2021+{{2021}^{-x}}\cdot \ln 2021+2022\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\forall x\in D$
$\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $D$
Ta có: $f\left( {{9}^{x}}+5 \right)+f\left( -2\cdot {{3}^{x+1}}-m \right)\le 0$
Vì $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{9}^{x}}+5 \right)-f\left( 2\cdot {{3}^{x+1}}+m \right)\le 0$
$\Leftrightarrow f\left( {{9}^{x}}+5 \right)\le f\left( 2\cdot {{3}^{x+1}}+m \right)$ $\left( ** \right)$
Và do $f\left( x \right)$ là một hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $\left( ** \right)\Leftrightarrow {{9}^{x}}+5\le 2\cdot {{3}^{x+1}}+m$
Bài toán trở thành tìm $m$ để bpt ${{9}^{x}}+5\le 2\cdot {{3}^{x+1}}+m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$
Đặt $t={{3}^{x}}$ bài toán trở thành tìm $m$ để bpt ${{t}^{2}}+5\le 6t+m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;9 \right]$
Xét bpt ${{t}^{2}}+5\le 6t+m$ $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t+5\le m$ trên đoạn $\left[ 1;9 \right]$
Ta có BBT của vế trái như sau:
Vậy, bất phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;9 \right]$ khi và chỉ khi $m\ge -4$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2022;2022 \right] \\
\end{aligned} \right. $ nên $ m\in \left\{ -4;-3;...;2022 \right\}$.
Vậy có $2022-\left( -4 \right)+1=2027$ giá trị của $m$ thỏa đề.