Google
Câu hỏi: . Cho hàm số $f\left( x \right)=2019\left( {{e}^{2x}}-{{e}^{-2x}} \right)+2020\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+2021{{x}^{3}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $f\left( \left| 3{{x}^{2}}+m \right| \right)+f\left( {{x}^{3}}-12 \right)\le 0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -2;1 \right]$.
A. 21.
B. 22.
C. Vô số.
D. 20.
A. 21.
B. 22.
C. Vô số.
D. 20.
Ta có ${f}'\left( x \right)=4038\left( {{e}^{2x}}+{{e}^{-2x}} \right)+\dfrac{2020}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+6063{{x}^{2}}>0,\forall x\in \left[ -2;1 \right]$
Mà $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$. Suy ra:
$f\left( \left| 3{{x}^{2}}+m \right| \right)+f\left( {{x}^{3}}-12 \right)\le 0\Leftrightarrow f\left( \left| 3{{x}^{2}}+m \right| \right)\le -f\left( {{x}^{3}}-12 \right)=f\left( 12-{{x}^{3}} \right),\forall x\in \left[ -2;1 \right]$
$\Leftrightarrow \left| 3{{x}^{2}}+m \right|\le 12-{{x}^{3}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
3{{x}^{2}}+m\ge {{x}^{3}}-12 \\
3{{x}^{2}}+m\le 12-{{x}^{3}} \\
\end{array} \right. $ ngiệm đúng với mọi $ x\in \left[ -2;1 \right]$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12=g\left( x \right) \\
m\le -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+12=h\left( x \right) \\
\end{array} \right.,\forall x\in \left[ -2;1 \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge \underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=-12 \\
m\le \underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( 1 \right)=h\left( -2 \right)=8 \\
\end{array} \right.\Rightarrow -12\le m\le 8$.
Vậy có 21 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Mà $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$. Suy ra:
$f\left( \left| 3{{x}^{2}}+m \right| \right)+f\left( {{x}^{3}}-12 \right)\le 0\Leftrightarrow f\left( \left| 3{{x}^{2}}+m \right| \right)\le -f\left( {{x}^{3}}-12 \right)=f\left( 12-{{x}^{3}} \right),\forall x\in \left[ -2;1 \right]$
$\Leftrightarrow \left| 3{{x}^{2}}+m \right|\le 12-{{x}^{3}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
3{{x}^{2}}+m\ge {{x}^{3}}-12 \\
3{{x}^{2}}+m\le 12-{{x}^{3}} \\
\end{array} \right. $ ngiệm đúng với mọi $ x\in \left[ -2;1 \right]$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12=g\left( x \right) \\
m\le -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+12=h\left( x \right) \\
\end{array} \right.,\forall x\in \left[ -2;1 \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m\ge \underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=-12 \\
m\le \underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( 1 \right)=h\left( -2 \right)=8 \\
\end{array} \right.\Rightarrow -12\le m\le 8$.
Vậy có 21 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án A.