Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}}$. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. $f\left( x \right)<1\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0$.
B. $f\left( x \right)<1\Leftrightarrow x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 7<0$.
C. $f\left( x \right)<1\Leftrightarrow x{{\log }_{7}}2+{{x}^{2}}<0$.
D. $f\left( x \right)<1\Leftrightarrow 1+x{{\log }_{2}}7<0$.
A. $f\left( x \right)<1\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0$.
B. $f\left( x \right)<1\Leftrightarrow x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 7<0$.
C. $f\left( x \right)<1\Leftrightarrow x{{\log }_{7}}2+{{x}^{2}}<0$.
D. $f\left( x \right)<1\Leftrightarrow 1+x{{\log }_{2}}7<0$.
Ta có $f\left( x \right)<1\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}}<1.$ $\left( * \right)$
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của $\left( * \right)$, ta được ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \right)<{{\log }_{2}}1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{2}^{x}}+{{\log }_{2}}{{7}^{{{x}^{2}}}}<0\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0$. Do đó A đúng.
Lấy ln hai vế của $\left( * \right)$, ta được $\ln \left( {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \right)<\ln 1$
$\Leftrightarrow \ln {{2}^{x}}+\ln {{7}^{{{x}^{2}}}}<0\Leftrightarrow x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 7<0.$ Do đó B đúng.
Lấy logarit cơ số 7 hai vế của $\left( * \right)$, ta được ${{\log }_{7}}\left( {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \right)<{{\log }_{7}}1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}{{2}^{x}}+{{\log }_{7}}{{7}^{{{x}^{2}}}}<0\Leftrightarrow x{{\log }_{7}}2+{{x}^{2}}<0$. Do đó C đúng.
Vì $x\in \mathbb{R}$ nên từ kết quả của đáp án A, khẳng định $x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0$
$\Leftrightarrow x\left( 1+x{{\log }_{2}}7 \right)<0\Leftrightarrow 1+x{{\log }_{2}}7<0$ là sai.
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của $\left( * \right)$, ta được ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \right)<{{\log }_{2}}1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{2}^{x}}+{{\log }_{2}}{{7}^{{{x}^{2}}}}<0\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0$. Do đó A đúng.
Lấy ln hai vế của $\left( * \right)$, ta được $\ln \left( {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \right)<\ln 1$
$\Leftrightarrow \ln {{2}^{x}}+\ln {{7}^{{{x}^{2}}}}<0\Leftrightarrow x\ln 2+{{x}^{2}}\ln 7<0.$ Do đó B đúng.
Lấy logarit cơ số 7 hai vế của $\left( * \right)$, ta được ${{\log }_{7}}\left( {{2}^{x}}{{.7}^{{{x}^{2}}}} \right)<{{\log }_{7}}1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}{{2}^{x}}+{{\log }_{7}}{{7}^{{{x}^{2}}}}<0\Leftrightarrow x{{\log }_{7}}2+{{x}^{2}}<0$. Do đó C đúng.
Vì $x\in \mathbb{R}$ nên từ kết quả của đáp án A, khẳng định $x+{{x}^{2}}{{\log }_{2}}7<0$
$\Leftrightarrow x\left( 1+x{{\log }_{2}}7 \right)<0\Leftrightarrow 1+x{{\log }_{2}}7<0$ là sai.
Đáp án D.