Cho hàm số $f\left(x \right)=2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-mx-2m\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+2$ (với m là tham số thực). Biết $f\left(x...

Ta có $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-mx-2m\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+2$
$=2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2+m\left( 3{{x}^{2}}-x-2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \right)$
$=2\left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-1 \right)+m\left( 3{{x}^{2}}-x-2 \right)-2m\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-1 \right)$
$=2\left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-1 \right)+m\left( 3x+2 \right)\left( x-1 \right)-2m\dfrac{{{x}^{2}}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1}$
$=\left( x-1 \right)\left[ 2\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-1 \right)+m\left( 3x+2-\dfrac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1} \right) \right]$.
Nếu $x=1$ là nghiệm đơn của phương trình $f\left( x \right)=0$ thì $f\left( x \right)$ đổi dấu qua nghiệm $x=1$.
Do đó điều kiện cần để $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ là phương trình $2\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-1 \right)+m\left( 3x+2-\dfrac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1} \right)=0$ nhận $x=1$ làm nghiệm
hay $-4+4m=0\Leftrightarrow m=1.$
Thử lại. với $m=1$ ta có. $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x-2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+2$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+\left( {{x}^{2}}-x+1-2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+1 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)=2{{x}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó $m=1$ là giá trị duy nhất của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.