Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+nx+2022$ với $m$, $n$ là các số thực Biết hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là ${{e}^{2023}}-12$ và $e-12$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}$ và $y=1$ bằng
A. $2019$.
B. $2020$.
C. $2021$.
D. $2022$.
A. $2019$.
B. $2020$.
C. $2021$.
D. $2022$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}+2mx+n$, ${{f}'}'\left( x \right)=12x+2m$, ${{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)=12$.
Suy ra $g\left( x \right)=2{{x}^{3}}+\left( m+6 \right){{x}^{2}}+\left( n+2m+12 \right)x+2022+n+2m$.
${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+2\left( m+6 \right)x+n+2m+12=0$.
Vì hàm số $g\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị nên phương trình có $2$ nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ như sau:
Từ đây suy ra $g\left( {{x}_{1}} \right)={{e}^{2023}}-12$ và $g\left( {{x}_{2}} \right)=e-12$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right) \\
& {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+{{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+12 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow g\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=f\left( x \right)-12$ $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=g\left( x \right)-f\left( x \right)+12$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$1=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)-f\left( x \right)+12=0 \\
& g\left( x \right)\ne -12 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=0 \\
& g\left( x \right)\ne -12 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}$ và $y=1$ bằng
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| 1-\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12} \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \dfrac{g\left( x \right)-f\left( x \right)+12}{g\left( x \right)+12} \right|\text{d}x}$ $=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}\text{d}x} \right|$ $=\left| \left. \ln \left| g\left( x \right)+12 \right| \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( {{x}_{2}} \right)+12 \right|-\ln \left| g\left( {{x}_{1}} \right)+12 \right| \right|$ $=\left| 1-2023 \right|=2022$.
Suy ra $g\left( x \right)=2{{x}^{3}}+\left( m+6 \right){{x}^{2}}+\left( n+2m+12 \right)x+2022+n+2m$.
${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+2\left( m+6 \right)x+n+2m+12=0$.
Vì hàm số $g\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị nên phương trình có $2$ nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ như sau:
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right) \\
& {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+{{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)+12 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow g\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=f\left( x \right)-12$ $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=g\left( x \right)-f\left( x \right)+12$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$1=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)-f\left( x \right)+12=0 \\
& g\left( x \right)\ne -12 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=0 \\
& g\left( x \right)\ne -12 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}$ và $y=1$ bằng
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| 1-\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)+12} \right|\text{d}x}$ $=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \dfrac{g\left( x \right)-f\left( x \right)+12}{g\left( x \right)+12} \right|\text{d}x}$ $=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}\text{d}x} \right|$ $=\left| \left. \ln \left| g\left( x \right)+12 \right| \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|$ $=\left| \ln \left| g\left( {{x}_{2}} \right)+12 \right|-\ln \left| g\left( {{x}_{1}} \right)+12 \right| \right|$ $=\left| 1-2023 \right|=2022$.
Đáp án D.