Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết hàm sồ $g(x)=f(x)+{f}'(x)+{f}''(x)$ có hai giá trị cực trị là $-4$ và 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f(x)}{g(x)+12}$ và $y=1$ bằng
A. $2 \ln 3$.
B. $\ln 3$.
C. $\ln 18$.
D. $\ln 2$.
A. $2 \ln 3$.
B. $\ln 3$.
C. $\ln 18$.
D. $\ln 2$.
Ta có
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\Rightarrow {f}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}+2ax+b \\
& \Rightarrow {f}''\left( x \right)=12x+2a\Rightarrow {f}'''\left( x \right)=12 \\
\end{aligned}$
Ta lại có $\dfrac{f(x)}{g(x)+12}-1=\dfrac{f(x)-g\left( x \right)-12}{g(x)+12}=\dfrac{-{f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)-12}{f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)+12}-1=0\Leftrightarrow \dfrac{-{f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)-12}{f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12}=0\Rightarrow {f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12=0$
Ta có ${g}'(x)={f}'(x)+{f}''(x)+{f}'''(x)={f}'(x)+{f}''(x)+12$.
Suy ra: $\dfrac{f(x)}{g\left( x \right)+12}-1=\dfrac{-{f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)-12}{f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12}=\dfrac{-{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của ${g}'(x)=0$
Khi và chỉ khi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của ${f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12=0$
Theo giả thiết ta có$\left\{ \begin{aligned}
& g({{x}_{1}})=4 \\
& g\left( {{x}_{2}} \right)=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12} \right|}dx=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{d\left( g\left( x \right)+12 \right)}{g\left( x \right)+12}} \right|=\left| \left( \ln \left| g\left( x \right)+12 \right| \right)|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|$
$=\left| \left( \ln \left| \dfrac{\left| g\left( {{x}_{2}} \right)+12 \right|}{\left| g\left( {{x}_{1}} \right)+12 \right|} \right| \right) \right|=\left| \ln \dfrac{8}{16} \right|=\left| \ln \dfrac{1}{2} \right|=\ln 2$.
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\Rightarrow {f}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}+2ax+b \\
& \Rightarrow {f}''\left( x \right)=12x+2a\Rightarrow {f}'''\left( x \right)=12 \\
\end{aligned}$
Ta lại có $\dfrac{f(x)}{g(x)+12}-1=\dfrac{f(x)-g\left( x \right)-12}{g(x)+12}=\dfrac{-{f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)-12}{f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12}$
$\dfrac{f(x)}{g(x)+12}-1=0\Leftrightarrow \dfrac{-{f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)-12}{f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12}=0\Rightarrow {f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12=0$
Ta có ${g}'(x)={f}'(x)+{f}''(x)+{f}'''(x)={f}'(x)+{f}''(x)+12$.
Suy ra: $\dfrac{f(x)}{g\left( x \right)+12}-1=\dfrac{-{f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)-12}{f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12}=\dfrac{-{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của ${g}'(x)=0$
Khi và chỉ khi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của ${f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+12=0$
Theo giả thiết ta có$\left\{ \begin{aligned}
& g({{x}_{1}})=4 \\
& g\left( {{x}_{2}} \right)=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12} \right|}dx=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+12}dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\dfrac{d\left( g\left( x \right)+12 \right)}{g\left( x \right)+12}} \right|=\left| \left( \ln \left| g\left( x \right)+12 \right| \right)|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|$
$=\left| \left( \ln \left| \dfrac{\left| g\left( {{x}_{2}} \right)+12 \right|}{\left| g\left( {{x}_{1}} \right)+12 \right|} \right| \right) \right|=\left| \ln \dfrac{8}{16} \right|=\left| \ln \dfrac{1}{2} \right|=\ln 2$.
Đáp án D.