Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+3$ với a, b là các số thực khác 0. Biết hàm số $f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+1$ và $f\left( {{x}_{\grave{\ }1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=61$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={f}'\left( x \right)-\dfrac{f\left( x \right)-3}{x}; y=19$ bằng
A. $\dfrac{128}{13}$
B. 23
C. $\dfrac{1679}{96}$
D. $\dfrac{219}{5}$
A. $\dfrac{128}{13}$
B. 23
C. $\dfrac{1679}{96}$
D. $\dfrac{219}{5}$
Ta có ${f}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}+2ax+b$ và ${f}''\left( x \right)=12x+2a$.
Do hàm số $f\left( x \right)$ có hai cực trị là ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$, nên ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $6{{x}^{2}}+2ax+b=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{a}{3} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{b}{6} \\
\end{aligned} \right.$.
Hơn nữa $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=61\Rightarrow f\left( -\dfrac{a}{6} \right)=\dfrac{61}{2}$. Mà ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=1$ suy ra $a=-15, b=36$.
Do vậy $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+36x+3$ nên ${f}'\left( x \right)-\dfrac{f\left( x \right)-3}{x}=4{{x}^{2}}-15x$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị là $4{{x}^{2}}-15x=19\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=\dfrac{19}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $S=\int\limits_{-1}^{\dfrac{19}{4}}{\left| {f}'\left( x \right)-\dfrac{f\left( x \right)-3}{x}-19 \right|dx}=\int\limits_{1}^{\dfrac{19}{4}}{\left| 4{{x}^{2}}-15x \right|dx}=\dfrac{1679}{96}$.
Do hàm số $f\left( x \right)$ có hai cực trị là ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$, nên ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $6{{x}^{2}}+2ax+b=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{a}{3} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{b}{6} \\
\end{aligned} \right.$.
Hơn nữa $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=61\Rightarrow f\left( -\dfrac{a}{6} \right)=\dfrac{61}{2}$. Mà ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=1$ suy ra $a=-15, b=36$.
Do vậy $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+36x+3$ nên ${f}'\left( x \right)-\dfrac{f\left( x \right)-3}{x}=4{{x}^{2}}-15x$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị là $4{{x}^{2}}-15x=19\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=\dfrac{19}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $S=\int\limits_{-1}^{\dfrac{19}{4}}{\left| {f}'\left( x \right)-\dfrac{f\left( x \right)-3}{x}-19 \right|dx}=\int\limits_{1}^{\dfrac{19}{4}}{\left| 4{{x}^{2}}-15x \right|dx}=\dfrac{1679}{96}$.
Đáp án C.