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Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}.$ Số giá trị nguyên của m để bất phương trình
$f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)+f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5<0 \right)$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;1 \right).$
A. 7.
B. 3.
C. 9.
D. 5.
$f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)+f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5<0 \right)$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;1 \right).$
A. 7.
B. 3.
C. 9.
D. 5.
Có $f\left( -x \right)={{2}^{-x}}-{{2}^{x}}=-\left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)=-f\left( x \right)$
${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+{{2}^{-x}}\ln 2>0,\forall x\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó
$f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)+f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5 \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)<-f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5 \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-2x+5 \right),\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
& \Leftrightarrow \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right|<2{{x}^{2}}-2x+5,\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
& \Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{2}}-2x+5 \right)<{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m<2{{x}^{2}}-2x+5,\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-5,\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
& m<{{x}^{3}}+x+5,\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
• Xét $g\left( x \right)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-5,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-8x+5;{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.$
• Xét $h\left( x \right)={{x}^{3}}+x+5,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1>0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
Vậy $-3\le m\le 5.$
${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+{{2}^{-x}}\ln 2>0,\forall x\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó
$f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)+f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5 \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow f\left( \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right| \right)<-f\left( 2x-2{{x}^{2}}-5 \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-2x+5 \right),\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
& \Leftrightarrow \left| {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m \right|<2{{x}^{2}}-2x+5,\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
& \Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{2}}-2x+5 \right)<{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-m<2{{x}^{2}}-2x+5,\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-5,\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
& m<{{x}^{3}}+x+5,\forall x\in \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
• Xét $g\left( x \right)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-5,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-8x+5;{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.$
• Xét $h\left( x \right)={{x}^{3}}+x+5,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
${h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1>0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
Vậy $-3\le m\le 5.$
Đáp án C.