Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$. Gọi ${{m}_{o}}$ là hàm số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn $f\left( m \right)+f\left( 2m-{{2}^{12}} \right)<0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${{m}_{o}}\in \!\![\!\!1513;2019).$
B. ${{m}_{o}}\in \!\![\!\!1009;1513).$
C. ${{m}_{o}}\in \!\![\!\!505;1009)$
D. ${{m}_{o}}\in [1;505)$
A. ${{m}_{o}}\in \!\![\!\!1513;2019).$
B. ${{m}_{o}}\in \!\![\!\!1009;1513).$
C. ${{m}_{o}}\in \!\![\!\!505;1009)$
D. ${{m}_{o}}\in [1;505)$
Ta có: $f'\left( x \right)={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+f\left( 2x-{{2}^{12}} \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+2.f'\left( 2x-{{2}^{12}} \right)>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Lại có hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$ là hàm lẻ nên $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow f\left( 2x-{{2}^{12}} \right)=-f\left( -2x+{{2}^{12}} \right)$
Khi đó $f\left( m \right)+f\left( 2m-{{2}^{12}} \right)<0\Leftrightarrow f\left( m \right)-f\left( -2m+{{2}^{12}} \right)<0\Leftrightarrow f\left( m \right)<f\left( -2m+{{2}^{12}} \right)$
$\Leftrightarrow m<-2m+{{2}^{12}}\Leftrightarrow m<\dfrac{{{2}^{12}}}{3}=\dfrac{4096}{3}\Rightarrow {{m}_{o}}=1365$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+f\left( 2x-{{2}^{12}} \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+2.f'\left( 2x-{{2}^{12}} \right)>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Lại có hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$ là hàm lẻ nên $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow f\left( 2x-{{2}^{12}} \right)=-f\left( -2x+{{2}^{12}} \right)$
Khi đó $f\left( m \right)+f\left( 2m-{{2}^{12}} \right)<0\Leftrightarrow f\left( m \right)-f\left( -2m+{{2}^{12}} \right)<0\Leftrightarrow f\left( m \right)<f\left( -2m+{{2}^{12}} \right)$
$\Leftrightarrow m<-2m+{{2}^{12}}\Leftrightarrow m<\dfrac{{{2}^{12}}}{3}=\dfrac{4096}{3}\Rightarrow {{m}_{o}}=1365$
Đáp án B.