Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$. Gọi ${{m}_{0}}$ là hàm số lớn nhất trong các số nguyên $m$ thỏa mãn $f\left( m \right)+f\left( 2m-{{2}^{12}} \right)<0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${{m}_{0}}\in \left[ 1513;2019 \right]$
B. ${{m}_{0}}\in \left[ 1009;1513 \right]$
C. ${{m}_{0}}\in \left[ 505;1009 \right]$
D. ${{m}_{0}}\in \left[ 1;505 \right]$
A. ${{m}_{0}}\in \left[ 1513;2019 \right]$
B. ${{m}_{0}}\in \left[ 1009;1513 \right]$
C. ${{m}_{0}}\in \left[ 505;1009 \right]$
D. ${{m}_{0}}\in \left[ 1;505 \right]$
HD: Ta có: ${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right).$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+f\left( 2x-{{2}^{12}} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+2.{f}'\left( 2x-{{2}^{12}} \right)>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Lại có hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$ là hàm lẻ nên $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow f\left( 2x-{{2}^{12}} \right)=-f\left( -2x+{{2}^{12}} \right)$
Khi đó $f\left( m \right)+f\left( 2m-{{2}^{12}} \right)<0\Leftrightarrow f\left( m \right)-f\left( -2m+{{2}^{12}} \right)<0\Leftrightarrow f\left( m \right)<f\left( -2m+{{2}^{12}} \right)$
$\Leftrightarrow m<-2m+{{2}^{12}}\Leftrightarrow m<\dfrac{{{2}^{12}}}{3}=\dfrac{4096}{3}\Rightarrow {{m}_{0}}=1365.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+f\left( 2x-{{2}^{12}} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+2.{f}'\left( 2x-{{2}^{12}} \right)>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Lại có hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$ là hàm lẻ nên $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow f\left( 2x-{{2}^{12}} \right)=-f\left( -2x+{{2}^{12}} \right)$
Khi đó $f\left( m \right)+f\left( 2m-{{2}^{12}} \right)<0\Leftrightarrow f\left( m \right)-f\left( -2m+{{2}^{12}} \right)<0\Leftrightarrow f\left( m \right)<f\left( -2m+{{2}^{12}} \right)$
$\Leftrightarrow m<-2m+{{2}^{12}}\Leftrightarrow m<\dfrac{{{2}^{12}}}{3}=\dfrac{4096}{3}\Rightarrow {{m}_{0}}=1365.$
Đáp án B.