Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}+2023{{x}^{3}}$. Biết rằng tồn tại số thực $m$ sao cho bất phương trình $f\left( {{4}^{x}}-mx+37m \right)+f\left( \left( x-m-37 \right){{2}^{x}} \right)\ge 0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Hỏi $m$ thuộc khoảng nào dưới đây
A. $\left( 50;70 \right)$.
B. $\left( -10;10 \right)$.
C. $\left( 30;50 \right)$.
D. $\left( 10;30 \right)$.
A. $\left( 50;70 \right)$.
B. $\left( -10;10 \right)$.
C. $\left( 30;50 \right)$.
D. $\left( 10;30 \right)$.
$f\left( {{4}^{x}}-mx+37m \right)+f\left( \left( x-m-37 \right){{2}^{x}} \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow f\left( {{4}^{x}}-mx+37m \right)\ge -f\left( \left( x-m-37 \right){{2}^{x}} \right)$.
Ta thấy rằng $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}+2023{{x}^{3}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)=-f\left( -x \right)$ nên $f\left( x \right)$ là hàm lẻ, khi đó:
$f\left( {{4}^{x}}-mx+37m \right)\ge -f\left( \left( x-m-37 \right){{2}^{x}} \right)\Leftrightarrow f\left( {{4}^{x}}-mx+37m \right)\ge f\left( -\left( x-m-37 \right){{2}^{x}} \right)$.
Mặc khắc $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}+2023{{x}^{3}}$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên:
$\Leftrightarrow f\left( {{4}^{x}}-mx+37m \right)\ge f\left( -\left( x-m-37 \right){{2}^{x}} \right)\Leftrightarrow {{4}^{x}}-mx+37m\ge -\left( x-m-37 \right){{2}^{x}}$
$\Leftrightarrow {{4}^{x}}-mx+37m\ge -{{2}^{x}}x+{{2}^{x}}m+{{37.2}^{x}}$ $\Leftrightarrow -mx+37m-{{2}^{x}}m+{{4}^{x}}+{{2}^{x}}x-{{37.2}^{x}}\ge 0$
$\Leftrightarrow m\left( -x+37-{{2}^{x}} \right)-{{2}^{x}}\left( -x+37-{{2}^{x}} \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left( m-{{2}^{x}} \right)\left( -x+37-{{2}^{x}} \right)\ge 0$
Xét hàm số $h\left( x \right)=-x+37-{{2}^{x}}$, ta có ${h}'\left( x \right)=-1-{{2}^{x}}\ln 2<0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$. Nên phương trình $h\left( x \right)=0$ có tối đa một nghiệm. Mà $h\left( 5 \right)=0$ nên $x=5$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Để $\left( m-{{2}^{x}} \right)\left( -x+37-{{2}^{x}} \right)\ge 0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì phương trình $m-{{2}^{x}}=0$ có nghiệm $x=5\Leftrightarrow m=32$.
Thử lại ta thấy $m=32$ thỏa.
Ta thấy rằng $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}+2023{{x}^{3}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)=-f\left( -x \right)$ nên $f\left( x \right)$ là hàm lẻ, khi đó:
$f\left( {{4}^{x}}-mx+37m \right)\ge -f\left( \left( x-m-37 \right){{2}^{x}} \right)\Leftrightarrow f\left( {{4}^{x}}-mx+37m \right)\ge f\left( -\left( x-m-37 \right){{2}^{x}} \right)$.
Mặc khắc $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}+2023{{x}^{3}}$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên:
$\Leftrightarrow f\left( {{4}^{x}}-mx+37m \right)\ge f\left( -\left( x-m-37 \right){{2}^{x}} \right)\Leftrightarrow {{4}^{x}}-mx+37m\ge -\left( x-m-37 \right){{2}^{x}}$
$\Leftrightarrow {{4}^{x}}-mx+37m\ge -{{2}^{x}}x+{{2}^{x}}m+{{37.2}^{x}}$ $\Leftrightarrow -mx+37m-{{2}^{x}}m+{{4}^{x}}+{{2}^{x}}x-{{37.2}^{x}}\ge 0$
$\Leftrightarrow m\left( -x+37-{{2}^{x}} \right)-{{2}^{x}}\left( -x+37-{{2}^{x}} \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left( m-{{2}^{x}} \right)\left( -x+37-{{2}^{x}} \right)\ge 0$
Xét hàm số $h\left( x \right)=-x+37-{{2}^{x}}$, ta có ${h}'\left( x \right)=-1-{{2}^{x}}\ln 2<0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$. Nên phương trình $h\left( x \right)=0$ có tối đa một nghiệm. Mà $h\left( 5 \right)=0$ nên $x=5$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Để $\left( m-{{2}^{x}} \right)\left( -x+37-{{2}^{x}} \right)\ge 0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì phương trình $m-{{2}^{x}}=0$ có nghiệm $x=5\Leftrightarrow m=32$.
Thử lại ta thấy $m=32$ thỏa.
Đáp án C.