Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{2}^{2+x}}-{{2}^{2-x}}$ và tích phân $I=\int\limits_{-2}^{2}{\left( {{e}^{f\left( x \right)}}-{{e}^{-f\left( x \right)}} \right)dx}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $I\in \left( -1;2 \right)$
B. $I\in \left( 2;4 \right)$
C. $I\in \left( -5;-3 \right)$
D. $I\in \left( 7;10 \right)$
A. $I\in \left( -1;2 \right)$
B. $I\in \left( 2;4 \right)$
C. $I\in \left( -5;-3 \right)$
D. $I\in \left( 7;10 \right)$
Ta có $f\left( x \right)={{2}^{2+x}}-{{2}^{2-x}}\Rightarrow f\left( -x \right)={{2}^{2-x}}-{{2}^{2+x}}=-f\left( x \right)\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm lẻ
Xét hàm $g\left( x \right)={{e}^{f\left( x \right)}}-{{e}^{-f\left( x \right)}}$
Ta có $g\left( -x \right)={{e}^{f\left( -x \right)}}-{{e}^{-f\left( x \right)}}={{e}^{-f\left( x \right)}}-{{e}^{f\left( x \right)}}=-g\left( x \right)$ (do $f\left( x \right)$ là hàm lẻ)
$\Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm lẻ $\Rightarrow I=\int\limits_{-2}^{2}{g\left( x \right)dx=\int\limits_{-2}^{2}{\left( {{e}^{f\left( x \right)}}-{{e}^{-f\left( x \right)}} \right)dx=0}}$
Xét hàm $g\left( x \right)={{e}^{f\left( x \right)}}-{{e}^{-f\left( x \right)}}$
Ta có $g\left( -x \right)={{e}^{f\left( -x \right)}}-{{e}^{-f\left( x \right)}}={{e}^{-f\left( x \right)}}-{{e}^{f\left( x \right)}}=-g\left( x \right)$ (do $f\left( x \right)$ là hàm lẻ)
$\Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm lẻ $\Rightarrow I=\int\limits_{-2}^{2}{g\left( x \right)dx=\int\limits_{-2}^{2}{\left( {{e}^{f\left( x \right)}}-{{e}^{-f\left( x \right)}} \right)dx=0}}$
Đáp án A.